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CA 02445858 2003-10-28
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METHODE POUR FORMER PLUS RAPIDEMENT UN MODELE STOCHASTIQUE
REPRESENTATIF D'UN RESERVOIR HETEROGENE SOUTERRAIN, CONTRAINT PAR DES
DONNEES DYNAMIQUES
La présente invention concerne une méthode pour former plus rapidement un
modèle numérique stochastique de type Gaussien ou apparenté, représentatif
d'un milieu
1o hétérogène poreux (tel qu'un gisement d'hydrocarbures par exemple) calé par
rapport à des
données dites dynamiques cwactéristiques du déplacement des fluides dans le
milieu telles
que par exemple des données de production (pressions obtenues à partir
d'essais de puits,
débits, etc.).
La méthode selon l'invention trouve des applications dans la modélisation de
zones
souterraines où il s'agit de générer des représentations montrant comment est
distribuée
une certaine grandeur physique dans une zone du sous-sol (la perméabilité
notamment),
compatibles au mieux avec des données observées ou mesurées, dans le but par
exemple
d'en favoriser l'exploitation.
ÉTAT DE LA TECI~NIIQUE
2o L'optimisation dans un contexte stochastique consiste à déterminer des
réalisations
d'un modèle stochastique qui satisfont un ensemble de données observées sur le
terTSin. En
ingénierie de réservoir, les réalisations à identifier correspondent à des
représentations,
dans le champ réservoir, de la distribution de propriétés de transport telles
que la
perméabilité ou porosité. Ces réalisations forment des modèles numériques de
réservoir.
Les données disponibles sont, par exemple, des mesures ponctuelles de
perméabilité ou
porosité, un modèle de variabilité spatiale déterminé selon des mesures
ponctuelles ou
encore des données directement liées aux écoulements des fluides dans un
réservoir
souterrain, c'est à dire des pressions, des temps de percée, des débits, etc.
Ces derniêres
sont souvent non linéairement reliées aux propriétés physiques à modéliser.
Une réalisation
3o tirée au hasard n'est pas en général en adéquation avec l'ensemble des
données collectées.
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2
La cohérence vis à vis des données est intégrée dans le modèle par le biais
d'une procédure
inverse
- Tarantola, A., « Inverse problem theory - Methods for data fitting and model
parameter
estimation », Elsevier Science Publishers, 1987.
Pour ce faire, la technique la plus simple est celle de l'essai et de
l'erreur. Cette
approche consiste à tirer au hasard des réalisations jusqu'à l'obtention d'une
réalisation
satisfaisant aux données. EIIe offre l'avantage de la conservation du modèle
de variabilité
spatiale, mais requiert un temps calcul prohibitif. Aussi n'est-elle que très
rarement utilisée
en pratique.
1o Une alternative souvent préférée prend appui sur le calcul des gradients.
Les
méthodes de gradients permettent de modifier une réalisation initiale suivant
une direction
de recherche, cette dernière étant estimée à partir des gradients. Les
modifications sont
apportées itérativement jusqu'à 'ce que le calage des données soit jugé
acceptable. Les
méthodes de gradients sont attrayantes de par leur efficacité. Néanmoins,
elles deviennent
inadaptées dès lors que le nombre de paramètres, c'est-à-dire le nombre de
valeurs de
perméabilité et de porosité constituant le modèle numérique, est important. En
outre, elles
ne permettent pas de modifier les réalisations en respectant la structure
spatiale du modèle
stochastique.
Plus récemment, une technique de paramétrage géostatistique, a été introduite
pour
contraindre, par déformation graduelle, les réalisations stochastiques à des
données dont
elles dépendent de manière non linéaire. Elle a fait l'objet des brevets FR
2.780.798 et
FR2.795.841 du demandeur, et des publications suivantes, notamment
- Hu, L.Y., 2000, Graduai defotTnation and iterative calibration of Gaussian-
related
stochastic models: Math. Geology, Vo1.32, No.l.
- Le Ravalec, M. et al. 2000, The FFT moving average (FFT-MA) generator: An
efficient numerical method for generating and conditioning Gaussian
simulations:
Math. Geology, Vo1.32, No.6.
- Hu, L.Y., Blanc, G. and Noetinger, B. (2001): Graduai defomation and
iterative
calibration of sequential stochastic simulations. Math. Geôlogy, Vol. 33,
No.4.
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3
Cette méthode a été appliquée avec succès à divers cas notamment à partir de
données provenant de champs d'exploitation pétrolière, comme décrit dans les
documents
suivants
- Rogjero, F. et a1.1998, Gradual deformation of continuous ?eostatistical
models for
history matchin~, Paper SPE 49004: Proc. SPE Annual Technical Conference and
Exhibition, New Orleans.
Hu, L.Y. et al. 1998, Constraining a reservoir facies model to dynamic data
using a
graduat deformation method, Paper B-O1: Proc. 6th European Conference on
Mathematics of Oil Recovery (ECMOR VT), 8-11 September 1998, Peebles,
Scotland.
1o Comme on va le rappeler plus en détail ci-après, la méthode de déformation
jraduelle permet de modifier graduellement une réalisation d' un modèle
stochastique de
type Gaussien ou de type apparenté au modèle Gaussien tout en respectant la
structure
spatiale du modèle.
Optiniisati.on stochastique
Soit f w° _ ( flnbs, f2 6s, -..' fM~~ ) l'ensemble des données sur le
terrain et
f ü (fl.f~......"fM ) les réponses courespondantes simulées pour une
réalisation z d'un
modèle stochastique Z donné. En général, les réponses f = (fl, f,,..,..., f~,
) sont obtenues en
résolvant numériquement le problème direct. Ainsi, si z représente un champ de
perméabilité, les données f peuvent être des mesures de pression. Dans ce cas,
elles sont
simulées à partir d'un simulateur d'écoulement. L'objectif d'une optimisation
stochastique
est de produire des réalisations de Z qui réduisent les différences entre les
données
observées et les réponses correspondantes simulées numériquement. Ces
différences sont
mesurées par la fonction objectif suivante
I M
_- ( f ' foLs)2
~ ~m m m
-~ nr=1
Les coefficients cv", sont des poids attribués aux données fmbJ . Les fn sont
des
fonctions de la réalisation z. En ce sens, la minimisation de la fonction
objectif est un
problèrriè à plusieurs variables.
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Soit N le nombre de mailles ou de composantes formant la réalisation z. N est
souvent très grand (104 ~ 10' ) . II est donc très difficile de mener une
optimisation
directement par rapport aux composantes de z. De plus, la réalisation z, même
modifiée,
doit rester une réalisation de Z. La méthode de déformation graduelle permet
de
s'affranchir de ces difficultés.
RecIZerclze aléatoire à partir- de la na.étlzode de défonrZatiorz graduelle
On considère à présent un champ aléatoire Z qui peut être transformé en champ
aléatoire Gaussien Y. La technique de défomation graduelle permet de
construire une
chaîne continue de réalisations en combinant une réalisation initiale yp de Y
avec une autre
réalisation u1, dite complémentaire, de Y, sc~ étant indépendante de yo
(figure la). Les
coefficients de combinaison sont par exemple cos(t) et sin(t) et la
réalisation combinée
vérifie la relation
y~t? = yp cos t + ui sin t
où t est le paramètre de déformation.
Une autre technique de construction de chaînes de réalisations consiste à
combiner
la réalisation initiale avec non pas une, mais P réalisations complémentaires
zeP (p=1,P) de
Y (figure lb). Les coefficients de la combinaison sont tels que la somme de
leurs carrés est
égale à 1.
Dès lors que la chaîne est élaborée, on peut l'explorer en variant le
paramètre de
?o déformation t et tenter d'identifier parmi toutes les réalisations de cette
chaîne celle qui
minimise la fonction objectif. Cette minimisation se fait par rapport à t. Le
paramétrage
suivant la méthode de déformation graduelle permet de réduire le nombre de
dimensions
du problème de N à 1, où N est le nombre de valeurs constituant le champ à
contraindre.
De plus, Ia somme des coefficients de combinaison au camé étant 1, la
réalisation
optimisée y(topt) est encore une réalisation de Y : elle suit le même modèle
de variabilité
spatiale que toutes les réalisations de Y.
Cependant, si l'on restreint l'exploration de l'espace des réalisations à une
unique
chaîne, on limite sévèrement nos possibilités de diminuer suffisamment la
fonction
objectif. Il faut donc répéter la procédure décrite ci-dessus, mais avec de
nouvelles chaînes
3o de réalisations. Ces chaînes de réalisations sont construites
successivement en combinant
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une réalisation initiale qui est ici la réalisation optimale déterminée à
l'itération précédente,
avec une réalisation complémentaire de Y, à chaque fois tirée au hasard.
Ainsi, à l'itération
l, la chaîne continue de réalisation s'écrit
yl ~t ) = y~_1 Cos t. + u1 siri t .
5 yl.l est la réalisation optimale définie à l'itération l-1 et les ui sont
des réalisations
indépendantes de Y. Ces dernières sont aussi indépendantes de yo. Cette
formulation
implique que la chaîne de réalisations correspond à une hyper ellipse de
dimension N.
En . minimisant la fonction objectif par rapport à t, on améliore, ou au moins
préserve, le calme des données à chaque fois qu'une nouvelle chaîne de
réalisations est
explorée. Cette procédure de recherche de minimum itérative est poursuivie
tant que le
calage des données n'est pas satisfaisant. Le coté aléatoire de la méthode
tient au fait qu'à
chaque itération, la réalisation complémentaire est tirée au hasard. De fait,
la direction de
recherche dans laquelle on part depuis la réalisation optimisée à l'étape
précédente est
aléatoire. En effet, la direction de recherche, pour une chaîne donnée et à
partir de la
réalisation optimale définie précédemment, est
dy~ ~t~ - _y~_1 sin 0 + r~~ cos 0
dt o
= u~
Cette direction de recherche dépend uniquement de ul. De plus, acl étant
indépendante des réalisations complémentaires déjà générées c~l,u"...,ul-I et
aussi de y0, la
direction de recherche au dépaut de chaque nouvelle chaîne est orthogonale à
la tangente
30 définie pour la chaîne précédente au même point (figure ?). Bien qu'il
puisse paraître
adéquat de sélectionner une direction de recherche orthogonale à cette
tangente, il existe
une infinité de directions orthogonales possibles.
L'expérience montre que, après quelques itérations, les nouvelles directions
de
recherche ne contribuent plus significativement à la décroissance de la
fonction objectif
(figure G).
Il a été envisagé aussi de combiner la réalisation initiale non pas à une,
mais à
plusieurs réalisations complémentaires. Dans ce cas, le nombre de paramètres
de
déformation augmente : il égale le nombre de réalisations complémentaires
mises en jeu
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G
lors d'une combinaison graduelle. Bien que le processus d'optimisation soit
alors plus
flexible, il faut pouvoir gérer plusieurs paramètres ce qui n'est pas
forcément évident. Par
ailleurs, un tel processus n'est pas nécessairement plus efficace, car il peut
dépendré de
l'exécution d'un plus jrand nombre de simulations directes d'écoulement.
La méthode selon l'invention
La méthode selon l'invention permet de former plus rapidement un modèle
numérique représentatif de la distuibution d'une grandeur physique dans un
milieu
hétérojène poreux, tel qu'une zone souterraine (réservoirs pétroliers,
aquifêres, etc.),
contraint par des données collectées dans le milieu (données dynamiques
caractéristiques
du déplacement des fluides dans le milieu, collectées par des mesures (dans
des puits de
production, d'injection ou d'observation par exemple) ou des observations
préalables.
Elle comporte un processus itératif de déformation graduelle où l'on combine
linéairernent à une réalisation initiale d'une partie au moins du modèle
choisi du milieu, au
moins une deuxième réalisation indépendante de Ia réalisation initiale, les
coefficients de
cette combinaison linéaire étant tels que la somme de leurs carrés est égale à
1, et l'on
minimise une fonction objectif mesurant l'écart entre un jeu de données non
linéaires
déduites de la dite combinaison au moyen d'un simulateur du milieu, et les
dites données
géologiques et dynamiques par ajustement des coefficients de la combinaison,
le processus
itératif étant répété jusqu'à obtenir une réalisation optimale du modèle
stochastique.
3o La méthode est caractérisée en ce que l'on accélère la vitesse de
défoumation
graduelle vers le modèle optimal représentatif du milieu, en sélectionnant
comme
deuxième réalisation à combiner avec la réalisation initiale, au moins une
réalisation
composite obtenùe en sélectionnant au préalable wne direction de descente
définie en
fonction des gradients de la fonction objectif par rapport à toutes les
composantes de la dite
réalisation initiale.
On obtient la réalisation composite par exemple par combinaison linéaire d'un
jeu
de réalisations indépendantes du modèle, les coefficients de la combinaison
étant calculés
de façon que la direction de descente à pauir de la réalisation initiale y
soit le plus proche
possible de celle définie par les gradients de la fonction objectif par
rapport à toutes les
composantes de la réalisation initiale. -
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On conduit l'optimisation par exemple à partir d'un paramètre de déformation,
qui
contrôle la combinaison entre la réalisation initiale et la réalisation
composite.
Dans le cas où la dite combinaison n'affecte qu'une partie de la réalisation
initiale,
on applique le processus itératif de défoirnation graduelle à un bruit blanc
Gaussien utilisé
pour générer une réalisation gaussienne et on déteirnine les dérivées de la
fonction objectif
par rappou aux composantes du bruit blanc Gaussien.
Suivant un mode de mise en oeuvre, on combine la réalisation initiale avec un
certain nombre M de réalisations composites, toutes obtenues par composition à
partir de
P~, réalisations indépendantes de Y, l'optimisation faisant intervenir M
paramètres.
1o En d'autres termes, la méthode comprend essentiellement un nouveau schéma
de
combinaison graduelle qui tient compte de l'information apportée par les
gradients au point
initial de toute chaîne de réalisations. Pour construire une chaîne, on part
toujours d'une
réalisation de départ et d'un ensemble de réalisations complémèntaires, toutes
indépendantes et issues du même modèle stochastique. Par contre, on ne combine
pas
directement la réalisation de départ avec les réalisations complémentaires.
Les réalisations
complémentaires offrent la possibilité d'explorer l'espace des rëalisations
dans des
directions diffêrentes. Ces directions ne sont pas équivalentes : certaines
permettent de se
diriger davantage vers l'optimum. A ce stade, on élabore une réalisation, dite
composite,
en combinant les réalisations complémentaires uniquement. Puis, on crée une
chaîne de
réalisations à partir de la réalisation de départ (initiale) et de cette
réalisation composite.
Cette chaîne, comme celle qui était proposée dans le cas de base de la
déformation
graduelle, peut être explorée à l'aide d'un seul paramètre de déformation.
La réalisation composite est construite de façon à proposer une direction de
recherche le long de la chaîne aussi proche que possible de la direction de
descente donnée
2s par les gradients. Comme mentionné plus haut, toutes les réalisations
complémentaires ne
sont pas équivalentes : la réalisation composite prend le meilleur de chaque
réalisation
complémentaire.
La méthode permet d'arriver plus rapidement à la fornlation du modèle
numérique
représentatif du milieu,
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ô
Présentation des figures
D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention
apparaîtront
plus précisément à la lecture de la description ci-après d'un exemple non
limitatif
d'application, en se réfêrant aux dessins annexés où
- les figures la, lb montrent des schémas de déformation '-aduelle (dits GDM)
déjà
connus ;
- la figurelc montre le schéma de déformation graduelle (dit GBC)
correspondant à la
méthode selon l'invention ;
- la figure 2 représente des chaînes de réalisations dans un espace euclidien
à N
t0 dimensions, où la tangente au niveau de la réalisation optimisée pour une
chaîne de
réalisations l-1 ( RC~-, ) est orthoâonale à la direction de recherche pour la
réalisation de
départ de la chaîne de réalisations suivante L ( RC~ );
- la fijure ~ montre la projection de la direction de descente v dans le sous-
espace U
défini par la base orthonormale formée par P réalisations indépendantes ( u1
,..., uP ) ;
- les figures 4A à 4C montrent des exemples de distributions de perméabilité
respectivement pour les réalisations de référence, initiale et contrainte aux
donnëes de
pression;
- les figure SA à SE montrent respectivement les variations en fonction du
temps des
pressions simulées respectivement aux cinq puits (BHP-OBS1, BHP-OBS2, BHP-
2o PROl, BHP-OBS3, BHP-OBS4) des fijures 4, respectivement pour les
distributions de
perméabilité de référence (data), initiale et contrainte (match) ; et
- la figure 6 montre l'évolution (OF) de la fonction objectif en fonction du
nombre k de
simulation d'écoulement exécutées, GDMl correspondant à une optimisation menée
en
combinant une réalisation de départ et une seule réalisation complémentaire,
GDMGBC3, à une optimisation menée en combinant la réalisation de départ et une
réalisation composite construite à pàrtir de trois réalisations
complémentaires,
GDMGBC10, â l'optimisation menée en combinant la réalisation de départ et une
réalisation composite construite à partir de dix réalisatiôns complémentaires,
et
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GDMGBC30, à une optimisation menée en combinant la réalisation de dépaut et
une
réalisation composite construite à partir de trente réalisations
complémentaires.
Description détaillée de la méthode
La méthode selon l'invention permet d'orienter à chaque itération la
construction
de la chaîne de réalisations afin d'atteindre une direction de recherche
souhaitable. La
technique retenue tire avantage de l'information apportée par la direction de
descente
définie par les gradients de la fonction objectif J. Elle peut être mise en
oeuvre au moyen
d'un simulateur numérique d'un type connu des jens de l'art tel que les
simulateurs
ATHOS ou ECL1PSE.
1o Recherche orientée par lci directi.ora de descente
On considère à ce stade la direction de descente (évolution vers une valeur
minimale qu'elle soit ou non locale) définie par les gradients de la fonction
objectif J par
rapport â toutes les composantes de la réalisation z. Ces gradients se
déduisent des
coefficients de sensibilité af,~ /âzn
âJ = ~'W ( _ ovs)~ m
m fm fm
ri m=1 n
Le problème du calcul des coefficients de sensibilité a été largement abordé
dans la
littérature scientifique. On pourra, par exemple, consulter
- Sun, N.Z., Inverse problems in groundwater modelling, Kluwer Acad. Publ.,
Dordrecht, The Netherlands, 1994.
?o En particulier, la technique de l'état adjoint permet de calculer
l'ensemble de ces
coefficients en résolvant le problème direct et son problème adjoint, dans un
temps
équivalent à deux fois celui requis pour le résolution du problème direct.
Comme l'objectif est d'intégrer l'information fournie par les sradients dans
la
méthode de déformation graduelle, il faut se ramener à la réalisation
Gaussienne qui résulte
de la transformation de z. On distingue deux cas selon 1) que l'on dispose ou
non de
données ponctuelles de conditionnement, c'est-à-dire de mesures de z en
certains points.
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1
Dans le cas où l'on ne dispose d'aucune donnée, si y est la réalisation
Gaussienne
obtenue en transformant ~, alors
_âJ _ _aJ dz,l
~Tn a~n dyn ,
Dans le cas contraire, on suppose que z est connu en certains points a Ainsi
la
réalisation Gaussienne s, déduite de la transformation de z, est une
réalisation
conditionnelle de Y. Pour obtenir s, on génère une réalisation non
conditionnelle y de Y et
on la conditionne aux valeurs connues en a par krigeage. La réalisation
conditionnelle se
déduit de
s=s*+(y-y*~
1o s* et y* sont calculées respectivement par krigeage à partir des données
réelles et
les données de y générées au niveau des points a. On montre alors que
_7J aJ dz" ~ dn $ a
- az" ds"
ay« 'dn=a
0,
Pour des propriétés physiques continues, dz,i I dy" ou dzn l dsn se calculent
à partir
de la fonction anamorphose qui pemnet de transformer la réalisation z en
réalisation
Gaussienne. Lorsque les propriétés physiques considérées sont catégorielles ou
discrètes;
ces déuivées n'existent pas. Les techniques de gradients ne peuvent alors
s'appliquer.
Ces différentes relations sont d'un intérêt direct si on se contente de
pouvoir
déformer globalement une réalisation. Si on souhaite par contre la défourner
localement, il
faut appliquer la méthode de déformation graduelle au bruit blanc Gaussien x
utilisé pour
2o ?énérer y. Dans ce cas, une étape supplémentaire s'impose : le calcul des
dérivées de la
fonction objectif par rapport aux composantes du bruit blanc Gaussien.
Pour illustrer le calcul de ces dérivées, on propose de se concentrer sur le
cas
particulier suivant lequel la réalisation Gaussienne non conditionnelle y est
obtenue à partir
du générateur FF),-MA décrit dans l'article publié par Le Ravalec et al. ?000
cité plus haut.
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il
Le principe de base de ce générateur FFT-MA (pour "FFT-Moving Average") est
de transformer un bruit blanc Gaussien x en réalisation Gaussienne y corrélée
à partir d'un
produit de convolution
y=g*x
La fonction ~ résulte de la décomposition de la fonction de covariance C telle
que
C = g ~~ g' , où g' est la transposée de g. Les dénuées de la fonction
objectif par rapport
aux composantes du bruit blanc Gaussien sont
_âJ _ _ôJ ay,
aXn ~ ~ ~I ~Xn
L'expression discrète du produit de convolution conduit à y~ =~g,_xxk , ce qui
k
implique a,'l~a~n =,q,_". Si on introduit cette formulation dans les dérivées
de la fonction
objectif, on montre
ar _ ~ ar = ~ ar
- ôt=n 8
axn - , ay, ~
Cette formule exprime le fait que la dérivée de la fonction objectif par
rapport au
~ièm' composant du bruit blanc Gaussien est donnée par la ra'ém' composante du
champ
obtenu en convoluant toutes les dérivées de la fonction objectif par rapport
aux
composantes de la réalisation Gaussienne avec le kernel de la fonction de
covariance. A
partir du cadre mis en place pour le jénérateur FFT-MA, on procède comme suit
pour
déterminer ces dërivées.
1-calcul de la transformée de Fourrer de c3J~ôy , ces dérivées étant fournies
par
mise en oruvre du simulateur numérique direct ;
2-multiplication de cette transformée de Fourrer avec celle de g qui est
fournit par
FFT-MA ;
3-calcul de la transformée de Fourrer inverse du produit précédent.
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1~
Le temps requis pour le calcul dé ces dérivées est négligeable : il représente
un
temps additionnel de 2/3 pax rapport à la simulation d'une réalisation
Gaussienne par FFT-
MA,
Quels que soient le générateur de réalisations et le simulateur numérique
direct, on
suppose, dans la suite, que l'on est capable de définir une direction de
descente à partir des
dénuées de la fonction objectif. Si l'optimisation de la fonction objectif est
menée pw
rapport à cette direction de descente seulement, on détruit en général la
cohérence de la
réalisation vis à vis du modèle de vauabilité spatiale. Dans la section qui
suit, on intègre
l'information apportée pw les dérivées de la fonction objectif dans le schéma
de
io combinaison jraduelle.
Prise ert cor~apte des dérivées de la fonction objectif dans le processus de
défornzation graduelle
On considère la chaîne de réalisations yl(t) construite à partir de yo et
d'une autre
réalisation u de Y (figure la). A présent, au lieu d'utiliser une réalisation
complémentaire u
telle qu'elle, on tire au hasard P réalisations complémentaires up
(p=1,2,...,P) de Y et on
substitue à a~ une combinaison des up=l,P (figure 1c). Cette combinaison n'est
pas
quelconque : elle suit le mode de construction suivant
ac = ~ ~.P u p avec ~ ~.P =1 ( 1
G Y
La réalisation u résultante est une réalisation de Y et est indépendante de
yo. D'après
l'équation 1, u est aussi la direction de recherche calculée pour la chaîne
y~(t) au point de
départ yo. On propose donc de construire u de soute que la direction u soit
aussi proche que
possible de la direction de descente donnée par les gradients en yo.
On définit au, préalable l'espace V des vecteurs à N dimensions muni du
produit
scalaire
1 N
'-5 ~y; v yj > - ~ ~ yin y;,n ~yl ~ yj E v
y;," et y~." sont respectivement leS 12~~"tes composantes des vecteurs y; et
y1. Soit
U un sous-espace de V défini par la base orthonormale (u1 , u2,..., u p ) . La
direction de
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recherche dans U la plûs proche de 1a direction de descente v est donnée par
la projection
de v dans U (figure 3)
VV =~~V,LIP~LCP
/P
En normalisant ce vecteur, on obtient la direction u souhaitée. Les
coefficients de
combinaison ~. de l'équation (2) sont donc :
~P ~'~'uP~ ~~~~'u9~' p-1,P
g=1
La réalisation u ainsi définie est appelée réalisation composite.
On a considéré jusqu'ici la construction de chaînes de réalisations par
combinaison
la réalisation initiale avec une réalisation composite. Cette technique peut
toutefois être
généralisée à la construction de chaînes faisant intervenir un certain nombre
M de
réalisations composites, toutes obtenues par composition à partir de P"t
réalisations de Y,
ces M P réalisations étant indépendantes. L'optimisation fait alors intervenir
M
~u~=I ~'
paramètres. Cette technique augmente le degré de liberté dans le processus
d'opti.misation,
mais oblige à jérer M paramètres d'optimisation.
Exemple numérique
On construit un modèle synthétique de réservoir sur lequel on teste la méthode
selon l'invention.
Le réservoir synthétique de référence est représenté sur la figure 4A. Il
s'agit d'un
réservoir mono-couche comprenant 51x51 mailles de 10 m d'épaisseur et de 40 m
de côté.
2o La distribution de perméabilité est lognormale de moyenne 200 mD et d'écart-
type 100
mD. Le loDarithme du champ de peirnéabilité est caractérisé par un vai-
iogramme
sphêrique isotrope et une longueur de corrélation de 480 m. Les autres
propriétés
pétrophysiques sont constantes : la porosité est de 25 %, la compressibilité
totale de 5.10'
bar' et la viscosité du fluide de 1 cP. Un puit de production BHP-PRO1, de
rayon 7.85 cm
dépourvu d'effet pariétal ("skin effect") se trouve au centre du réservoir :
il est entouré par
quatre puits d'observatidn (BHP-OB51, BHP-OBS2, BHP-OBS3, BHP-OBS4) (figures
4). Une
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simulation numérique d'écoulement permet d'obtenir pour ce réservoir un jeu de
données
de référence comprenant les pressions aux cinq puits (figure 5).
L'objet du problème inverse est de déterminer un modèle de réservoir cohérent
avec les données de pression en supposant inconnue la distribution des
perméabilités. Dans
ce but, on lance quatre processus d'optimisation en partant de la même
réalisation de
départ (figure 4B). Pour chacun de ces processus, on considère un unique
paramètre
d'optimisation, à savoir le paramètre de déformation. Le premier processus
(GDM1)
reprend le schéma de déformation graduelle classique avec la construction
d'une chaîne de
réalisation en utilisant la réalisation de départ et une seule réalisation
complémentaire. Les
1o trois autres processus (GDMGBC3, GDMGBC10 et GDMGBC30) illustrent
l'application
de la .méthode selon l'invention : les chaînes sont dans ce cas élaborées avec
la réalisation
de départ et une réalisation composite issue de la combinaison de 3, 10 et 30
réalisations
complémentaires. La réalisation composite est construite comme expliqué ci-
dessus (Eq. 2)
en intégrant l'information fournie par les gradients de la fonction objectif
par rapport au
huait blanc Gaussien. Pour chacun des processus, on reprësente sur la figure G
l'évolution
de la fonction objectif (OF) en fonction du nombre k de simulation
d'écoulement
exécutées.
On observe qu'en utilisant les gradients et en augmentant le nombre de
réalisations
complémentaires, la fonction objectif diminue plus vite pour un même nombre de
2o simulations d'écoulements.
