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MÉTHODE POUR ÉVALUER UN SCHÉMA DE PRODUCTION D'UN GISEMENT
SOUTERRAIN EN TENANT COMPTE DES INCERTITUDES
La présente invention concerne le domaine de l'exploration et l'exploitation
de
gisements pétroliers. Plus particulièrement l'invention concerne l'évaluation
de tels
gisements, par l'étude et l'optimisation de schémas de production de tels
gisements pétroliers.
Un schéma de production constitue une option de développement d'un gisement.
Il
regroupe tous les paramètres nécessaires à la mise en production d'un
gisement. Ces
paramètres peuvent être la position d'un puits, le niveau de complétion, la
technique de
forage...
L'étude d'un gisement comporte deux phases principales : une phase de
caractérisation
du réservoir et une phase de prévision de production.
La phase de caractérisation du réservoir consiste à construire un modèle de
réservoir.
Un modèle de réservoir est une maquette décrivant la structure spatiale du
gisement, sous
forme d'une discrétisation de l'espace. Cette discrétisation se matérialise
par un ensemble de
mailles. A chacune de ces mailles, on associe des valeurs de propriétés
caractérisant le
gisement : porosité, perméabilité, lithologie, pression, nature des
fluides,... Les ingénieurs
n'ont accès qu'à une infime partie du gisement qu'ils étudient (mesures sur
carottes,
diagraphies, essais de puits, ...). Ils doivent extrapoler ces données
ponctuelles sur la totalité
du champ pétrolier pour construire un modèle de réservoir fiable. En
conséquence, la notion
d'incertitude doit être constamment prise en compte.
Pour la phase de prévision de production à un instant donné, pour améliorer
cette
production, ou, en général, pour augmenter le rendement économique du champ,
le spécialiste
possède un outil, appelé simulateur d'écoulement . Un simulateur
d'écoulement est un
logiciel permettant, entre autre, de modéliser la production d'un gisement en
fonction du
temps, à partir de mesures décrivant le gisement, c'est-à-dire, à partir du
modèle de réservoir.
Un simulateur d'écoulement fonctionne en acceptant des paramètres en entrée,
et en
résolvant des équations physiques de mécanique des fluides en milieu poreux,
pour délivrer
des informations appelées réponses. L'ensemble des paramètres d'entrées est
contenu dans le
modèle de réservoir. Les propriétés associées aux mailles de ce modèles sont
alors appelées
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paramètres. Ces paramètres sont notamment associés à la géologie du gisement,
aux
propriétés pétro-physiques, au développement du gisement et aux options
numériques du
simulateur. Les réponses (sorties) fournies par le simulateur sont, par
exemple, la production
d'huile, d'eau ou de gaz du réservoir et de chaque puit pour différents temps.
Généralement,
pour chacune des valeurs des différents paramètres d'entrée, le simulateur
d'écoulement
renvoie une seule valeur pour chaque réponse (sortie). Le simulateur
d'écoulement est alors
qualifié de déterministe.
Cependant, la majorité des paramètres d'entrée sont incertains. Ces
incertitudes se
traduisent par le fait que l'on ne peut pas attribuer une valeur unique, dont
est sûr de la valeur,
à un paramètre du modèle de réservoir. Par exemple, on ne peut pas assurer que
la porosité en
un point du gisement est de 20%. On peut au mieux considérer que la porosité
est comprise
entre 15% et 25% en ce point. Ceci est notamment dû au fait que les paramètres
d'entrée sont
déterminés à l'aide d'un nombre de mesures et informations limitées. Les
réponses possibles
du simulateur d'écoulement sont donc multiples, compte tenu de l'incertitude
inhérente au
modèle de réservoir. Dans notre exemple, il y aura une réponse du simulateur
si la porosité est
15%, une réponse différente si la porosité est 20,5%... 11 est ainsi
indispensable de pouvoir
quantifier l'incertitude sur les sorties du simulateur. De même, une correcte
caractérisation de
l'incertitude des paramètres d'entrée est indispensable. Il est également
important de
déterminer les paramètres d'entrée qui ont un effet significatif sur les
réponses d'intérêts.
Le spécialiste de l'exploitation d'un gisement pétrolier doit donc intégrer
ces notions
d'incertitudes dans l'évaluation d'un gisement, de façon à déterminer, par
exemple, des
conditions optimales de production.
État de la technique
Afin de bien caractériser l'impact de chaque incertitude sur la production de
pétrole, de
nombreux scénarios de production doivent être testés, et par conséquent, un
nombre important
de simulations de réservoir est nécessaire.
Cependant, dans l'industrie pétrolière, pour être de plus en plus fiables et
prédictifs, la
tendance est d'utiliser des simulateurs d'écoulements de plus en plus
complexes, qui
demandent un modèle de réservoir de plus en plus détaillé (plusieurs millions
de mailles).
Mais compte tenu du délai important requis pour effectuer une simulation
d'écoulement, il ne
peut pas être envisagé de tester tous les scénarios possibles via un
simulateur d'écoulement.
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Pour éviter de réaliser un grand nombre de simulations, on connaît une
technique,
décrite dans le brevet FR 2 874 706, et basée sur les plans d'expériences.
Cette méthode
permet de gérer des incertitudes via la construction de modèles approchés,
appelés
surfaces de réponses , obtenus par exemple par krigeage. Ces surfaces
fournissent des
réponses approchées de celles issues du simulateur d'écoulement.
Cependant, toute surface de réponse commet une erreur de prédiction plus ou
moins
importante, selon la réponse qu'elle essaie d'approximer. En général, l'ajout
d'information
(i.e. de simulations) permet la construction d'une surface de réponse de plus
en plus
prédictive.
L'objet de l'invention est une méthode alternative, pour évaluer des schémas
de
production de gisements souterrain, en estimant la production de tels
gisements à l'aide
d'un modèle approché, et ajusté de façon itérative pour qu'il reproduise au
mieux les
réponses du simulateur, tout en maîtrisant le nombre de simulations
nécessaires à sa
construction.
La méthode selon l'invention
L'invention concerne une méthode pour exploiter un gisement pétrolier
comprenant
une étape d'évaluation d'un schéma de production dudit gisement, à partir de
mesures de
propriétés physiques caractérisant ledit gisement et ledit schéma de
production. Ces
propriétés constituent des paramètres d'entrée d'un simulateur d'écoulement
permettant de
simuler des réponses du gisement, telles que la production. On construit un
modèle
analytique approché permettant de prédire lesdites réponses du gisement. La
méthode
comporte également les étapes suivantes :
- on ajuste ledit modèle analytique approché à l'aide d'un processus itératif
comportant les
étapes suivantes :
a) on définit, pour chacune desdites réponses, un degré de précision Dp que
l'on
souhaite obtenir, ledit degré de précision Dp mesurant l'écart entre les
réponses
prédites par le modèle et celles simulées par le simulateur;
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b) on calcule un degré de précision D(M) des prédictions du modèle analytique
approché;
c) si cette valeur Dp(M) est inférieure au degré de prédiction souhaité Dp, le
processus
itératif s'arrête, sinon on poursuit par les étapes suivantes :
d) on construit un plan d'expériences de façon à sélectionner des simulations
à
réaliser, pertinentes pour ajuster ledit modèle;
e) on réalise les simulations sélectionnées par le plan d'expérience à l'aide
du
simulateur d'écoulement, puis, pour chacune des réponses simulées par le
simulateur, on ajuste ledit modèle analytique à l'aide d'une méthode
d'approximation, de façon à ajuster les réponses prédites par le modèle à
celles
simulées par le simulateur; et
f) on recommence à l'étape b), jusqu'à ce que le degré de précision souhaité
Dp soit
atteint;
- on évalue ledit schéma de production, en analysant lesdites réponses dudit
gisement
prédites par ledit modèle analytique approché;
- on analyse lesdites réponses dudit gisement prédites par ledit modèle
analytique
approché, en quantifiant une influence de chacun desdits paramètres d'entrée
sur chacune
desdites réponses, à l'aide d'une analyse de sensibilité globale, dans
laquelle on calcule des
indices de sensibilité en utilisant ledit modèle analytique; et
- les paramètres d'entrée comportant au moins un champ stochastique, on
décompose le
champ stochastique en un nombre n de composantes via une décomposition de
Karhunen-Loeve, et on sélectionne les composantes du champ stochastique ayant
un
impact sur les réponses à l'aide de l'analyse de sensibilité globale. De plus,
selon la
méthode, on met en production ledit gisement en fonction de ladite évaluation
dudit
schéma de production.
Selon un mode de réalisation particulier, on peut modifier le degré de
précision
souhaité Dp à chacune des itérations. Les paramètres d'entrée peuvent être
incertains, c'est-
à-dire que les valeurs de ces paramètres d'entrée sont incertaines.
Les réponses du gisement, prédites par le modèle analytique approché, peuvent
être
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analysées en quantifiant une influence de chacun des paramètres d'entrée sur
chacune des
réponses, à l'aide d'une analyse de sensibilité globale, dans laquelle on
calcule des indices
de sensibilité en utilisant le modèle analytique. A l'aide de cette analyse de
sensibilité
globale, on peut sélectionner les plus influents sur les réponses du gisement,
et définir
ainsi des mesures à réaliser pour faire décroître une incertitude sur les
réponses du
gisement.
Selon un mode de réalisation particulier, si les paramètres d'entrée
comportent au
moins un champ stochastique, on peut décomposer ce champ stochastique en un
nombre n
de composantes via une décomposition de Karhunen-Loeve. On sélectionne alors
les
composantes du champ stochastique ayant un impact sur les réponses à l'aide de
l'analyse
de sensibilité globale.
D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention,
apparaîtront à
la lecture de la description ci-après d'exemples non limitatifs de
réalisations, en se référant
aux figures annexées et décrites ci-après.
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Présentation succincte des figures
- la figure 1 représente un canevas de la méthode de gestion des
incertitudes selon
l'invention.
- la figure 2 montre un exemple d'évolution de l'erreur de prédiction
estimée (en %) par une
5 surface de réponse (modèle approché).
Description détaillée de la méthode
La méthode selon l'invention permet d'optimiser le schéma de production d'un
gisement pétrolier. La méthode est schématisée par le diagramme de la figure
1. Après avoir
choisi un simulateur d'écoulement, la méthode comporte les étapes suivantes :
1- Sélection et caractérisation des incertitudes des paramètres d'entrée du
simulateur
2- Construction d'un modèle analytique approché du simulateur
3- Ajustement du modèle analytique approché
4- Optimisation du schéma de production du gisement.
Étape 1 : Sélection et caractérisation des incertitudes des paramètres
d'entrée du simulateur
Tout simulateur d'écoulement permet notamment de calculer la production
d'hydrocarbures ou d'eau en fonction du temps, à partir de paramètres
physiques
caractéristiques du gisement pétrolier, tels que le nombre de couches du
réservoir, la
perméabilité des couches, la force de l'aquifère, la position des puits de
pétrole, etc.
Ces paramètres physiques constituent les entrées du simulateur d'écoulement.
Elles sont
obtenues par des mesures effectuées en laboratoire sur des carottes et des
fluides prélevés sur
le gisement pétrolier, par diagraphies (mesures réalisées le long d'un puits),
par essais de
puits, etc.
Parmi les paramètres physiques caractéristiques du gisement pétrolier, on
sélectionne de
préférence des paramètres d'entrée ayant une influence sur les profils de
production
d'hydrocarbures ou d'eau par le gisement. La sélection des paramètres peut se
faire soit par
rapport à la connaissance physique du gisement pétrolier, soit par une étude
de sensibilité. Par
exemple, on peut mettre en oeuvre un test statistique de Student ou de
Fischer.
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Des paramètres peuvent être intrinsèques au réservoir pétrolier. Par exemple,
on peut
considérer les paramètres suivants : perméabilité de certaines couches du
réservoir, force de
l'aquifère, saturation d'huile résiduelle après balayage à l'eau...
Des paramètres peuvent correspondre à des options de développement du
gisement. Ces
paramètres peuvent être la position d'un puits, le niveau de complétion, la
technique de
forage.
Après sélection de ces paramètres d'entrée, on caractérise les incertitudes
associées à
ces paramètres. On peut par exemple remplacer une valeur d'un paramètre par un
intervalle de
variation de ce paramètre.
Étape 2 : Construction d'un modèle analytique approché du simulateur
Le simulateur d'écoulement étant un outil complexe et gourmand en temps de
calcul, on
ne peut pas l'utiliser pour tester tous les scénarios en tenant compte de
toutes les incertitudes
des paramètres. On construit alors un modèle analytique approché du
comportement du
gisement pétrolier. Ce modèle approché est également appelé surface de
réponse . Il
consiste en un ensemble de formules analytiques, chacune traduisant le
comportement d'une
réponse donnée du simulateur d'écoulement. Ces formules analytiques sont
fonction d'un
nombre réduit de paramètres, et elles sont construites à partir d'un nombre
limité de
simulations.
Ce modèle approché traduit le comportement de réponses données, par exemple le
cumulé d'huile produit à 10 ans, en fonction de quelques paramètres d'entrée.
Ainsi, pour
chaque réponse (sortie) du simulateur d'écoulement, nécessaire à
l'optimisation de la
production ou l'évaluation du gisement, on associe une formule analytique
permettant
d'approximer cette réponse à partir de paramètres d'entrée.
Pour construire ce modèle approché du simulateur d'écoulement, on combine deux
techniques : une méthode d'approximation et une méthode de plans
d'expériences.
Les plans d'expériences permettent de déterminer le nombre et la localisation,
dans
l'espace des paramètres d'entrée, d'un nombre réduit de simulations à réaliser
pour avoir le
maximum d'informations pertinentes, au coût le plus faible possible.
La technique des plans d'expériences est décrite par exemple dans Droesbeke
J.J, et al.,
1997; "Plans d'expériences, Applications à l'entreprise", Editions Technip.
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Un plan indique différents jeux de valeurs pour les paramètres incertains.
Chaque jeu de
valeurs des paramètres incertains est utilisé pour effectuer une simulation
d'écoulement. Dans
l'espace des paramètres d'entrée, chaque simulation représente un point.
Chaque point
correspond à des valeurs pour les paramètres incertains et donc à un modèle de
réservoir
possible. Le choix de ces points, grâce aux plans d'expériences, peut faire
intervenir de
nombreux types de critères, comme l'orthogonalité ou le remplissage de
l'espace ( space-
filling ).
Pour cette étape "exploratoire", le choix des points de simulation peut être
réalisé grâce
à différents types de plans d'expériences, par exemple, les plans factoriels,
les plans
composites, les plans de distance maximum, etc. On peut également utiliser un
plan
d'expérience de type Hypercube Latin Maximin ou Sobol LP-T (A. Saltelli, K.
Chan and M.
Scott: "Sensitivity Analysis", New York, Wiley, 2000).
Après la construction de ce plan d'expériences, et lorsque les simulations
d'écoulement sont réalisées, une méthode d'approximation est utilisée pour
déterminer un
modèle approché. Ce modèle approche les réponses du simulateur d'écoulement.
De façon
très simplifiée, on peut imaginer qu'en réalisant quatre simulations, on
obtient quatre couples
(paramètre d'entrée, réponse). On estime alors une relation respectant au
mieux ces couples.
En pratique, les paramètres et les sorties étant multiples, on peut utiliser,
comme
méthode d'approximation, des polynômes du premier ou du deuxième ordre, des
réseaux de
neurones, des machines à support vectoriel ou éventuellement des polynômes
d'ordre
supérieur à deux. De nombreuses autres techniques sont connues des
spécialistes, telles que
les méthodes à base d'ondelettes, de SVM, de noyau hilbertien auto
reproduisant, ou encore la
régression non-paramétrique basée sur un processus Gaussien ou krigeage
(Kennedy M.,
O'Hagan A.: "Bayesian calibration of computer models (with discussion)". J R.
Statist. Soc.
Ser. B Stat. Methodol. 68, 425-464, 2001). Le choix de la méthode dépend d'une
part du
nombre de simulations maximum envisageable par l'utilisateur, et d'autre part,
du plan
d'expériences initial utilisé.
Ainsi, pour construire le modèle approché, on procède de la façon suivante :
- on construit un plan d'expériences de façon à sélectionner un nombre
restreint de
simulations ;
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- on réalise les simulations sélectionnées par le plan d'expérience à l'aide
du simulateur
d'écoulement, à partir de paramètres d'entrée sélectionnés ;
- pour chacune des réponses du simulateur, on définit une formule analytique
reliant les
paramètres d'entrée sélectionnés à la réponse (issue des simulations), à
l'aide d'une méthode
d'approximation.
Étape 3- Ajustement du modèle analytique approché
Le modèle approché, ainsi déterminé, permet de prédire les sorties du
simulateur
d'écoulement avec une certaine précision. Selon l'invention, la méthode
comporte une mesure
de la précision de prédiction de ce modèle de façon à définir un critère
d'évaluation associé à
la précision du modèle approché construit. La figure 2 illustre un exemple
d'évolution de
l'erreur de prédiction estimée (Err) par une surface de réponse (modèle
approché), en fonction
du nombre de simulations (Nsim) utilisées pour construire la surface de
réponse. Dans cette
exemple, la surface de réponse approxime la sortie du simulateur d'écoulement
correspondant
au débit d'huile du réservoir après 10 ans de production.
Ce critère permet à un utilisateur de décider de l'ajout éventuel de
simulations afin
d'améliorer la fiabilité de prédiction du modèle.
Le degré de prédiction requis est obtenu de façon itérative. Cette étape se
décompose de
la façon suivante :
a)- on définit un degré de précision Dp de la prédiction du modèle approché
que l'on
souhaite obtenir pour chaque réponse du simulateur que l'on veut analyser.
b)- on estime le degré de prédiction D(M) du modèle analytique approché.
Cette
estimation peut se faire en utilisant des méthodes de type validation croisée
ou bootstrap.
c)- Si cette valeur D(M) est inférieure au degré de prédiction souhaité Dp,
le processus
itératif automatique s'arrête, sinon on poursuit par les étapes suivantes :
d)- on sélectionne p nouvelles combinaisons de paramètres d'entrée dans
l'espace des
paramètres d'entrée, au moyen d'une méthode adaptative. Une méthode adaptative
consiste à
ajouter de l'information aux endroits où il en manque, et où le modèle
approché n'est pas
suffisamment prédictif. De telles méthodes sont bien connues des spécialistes.
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e)- on réalise les p simulations correspondantes, et l'on modifie le modèle
approché en
conséquences.
f)- puis l'on recommence à l'étape b), jusqu'à ce que le degré de précision
soit atteint. On
peut également recommencer à l'étape a), de façon à définir un nouveau degrés
de précision.
On peut également arrêter "manuellement" le processus.
Le nombre p de simulations réalisées à chaque itération peut être contrôlé par
l'utilisateur, en fonction du nombre de machines disponibles pour réaliser des
simulations par
exemple.
Le modèle approché ainsi obtenu permet de prédire les réponses quasi
instantanément
(en temps de calcul), et permet donc de remplacer le simulateur d'écoulement
coûteux en
temps de calcul. On peut donc tester un grand nombre de scénarios de
production, tout en
tenant compte de l'incertitude de chaque paramètre d'entrée.
Les méthodes utilisées pour sélectionner de nouveaux points dans l'espace des
paramètres à l'étape d) peuvent être diverses. On peut par exemple se baser
sur une méthode
décrite dans les documents suivants :
- Scheidt C., Zabalza-Mezghani I., Feraille M., Collombier D.: "Adaptive
Evolutive Experimental Designs for Uncertainty Assessment - An innovative
exploitation of geostatistical techniques", IAMG, Toronto, 21-26 August,
Canada, 2005.
- Busby D., Farmer C.L., Iske A.: "Hierarchical Nonlinear Approximation for
Experimental Design and Statistical Data Fitting". SIAM J. Sci. Comput. 29, 1,
49-69,
2007
Dans Busby et al., on effectue d'abord une partition de l'espace en
différentes zones de taille
équivalente (méthode connue des spécialistes sous le nom adaptive gridding
). Les
nouveaux points sont ensuite ajoutés dans les zones où la prédiction du modèle
approché n'est
pas bonne (i.e. au dessous du degré de précision Dp fixé par l'utilisateur).
La prédiction du
modèle est calculée indépendamment dans chaque zone. Cette erreur de
prédiction est
calculée en prenant la moyenne des erreurs obtenue par validation croisée (
leave-one-out ).
L'ajout de simulations à l'étape e) est répété, automatiquement, jusqu'à
satisfaire un
critère d'arrêt qui est lié au degré de prédiction souhaité par l'utilisateur,
défini à l'étape a), par
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exemple prédiction moyenne de 5% de la réponse étudiée. Un exemple
d'estimation de la
prédiction est obtenu à partir de la moyenne des erreurs de validation croisée
dans chaque
zone.
Les réponses d'intérêts choisies peuvent correspondre à des sorties directes
du
5 simulateur d'écoulement ou à des combinaisons et interpolations de
sorties. Par exemple ont
peut s'intéresser:
- uniquement à la production cumulée de l'huile (gaz, eau) du réservoir au
temps final
de production,
- à la production cumulée de l'huile (gaz, eau) du réservoir pour
différents temps,
10 - à l'ajout de la production d'huile et de la production d'eau,
- à la production d'huile pour des valeurs fixées de water cut (ou de
production d'eau),
- à la durée du plateau du profil de production,...
De plus on peut facilement rajouter des incertitudes économiques et les
combiner aux
incertitudes techniques pour définir des réponses associées à la valeur
économique du
gisement comme par exemple la Valeur Actuelle Nette (VAN) et ne pas se limiter
à des
réponses techniques (de production d'huile, de gaz, d'eau, ...). Une telle
méthode est décrite
dans la demande EP 1 484 704.
4- Optimisation du schéma de production et évaluation du gisement
Le principe d'optimisation du schéma de production consiste à définir
différents
scénarios de production, et pour chacun d'eux, prédire la production. Cette
technique permet
également, de la même façon, d'évaluer économiquement un gisement pétrolier.
Au cours de cette phase de prévision de production, le modèle approché est
utilisé
parce qu'il est simple et analytique et, donc, chaque estimation obtenue par
ce modèle est
immédiate. Cela constitue une économie de temps considérable. L'utilisation de
ce modèle
autorise l'ingénieur réservoir à tester autant de scénarios qu'il le souhaite,
sans se soucier des
délais nécessaires pour effectuer une simulation numérique d'écoulement, et
surtout cela lui
permet de prendre en compte les incertitudes en testant différentes valeurs de
paramètres
d'entrée.
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Le modèle analytique approché est utilisé avec des techniques
d'échantillonnage direct
de type Monte Carlo ou Quasi Monte Carlo (MCMC, Hypercube Latin, ...) pour
pouvoir
propager les incertitudes des paramètres d'entrée sur la ou les réponses du
simulateur choisies.
On obtient ainsi les distributions de probabilité associées aux sorties du
simulateur. Ces
distributions sont utiles pour pouvoir prendre des décisions sur
l'exploitation du gisement en
question, compte tenu de la production ou valeur économique possible et de
l'incertitude
associée.
Selon un mode de réalisation particulier, on utilise le modèle approché pour
réaliser une
analyse de sensibilité globale, de façon à sélectionner les paramètres
influant la production du
gisement, afin de réaliser les mesures nécessaires à une meilleure évaluation
du gisement.
Il est par exemple intéressant de savoir que l'activité de l'aquifère ou la
perméabilité
d'une couche géologique particulière joue un rôle prépondérant sur les
résultats de production
future du gisement.
L'Analyse de Sensibilité Globale (ASG) des paramètres incertains sur les
réponses du
simulateur permet d'analyser de façon détaillée l'impact de l'incertitude de
chaque paramètre
ou groupe de paramètre incertain, sur l'incertitude des réponses du
simulateur. Une telle
technique est décrite dans :
- Saltelli, K. Chan and M. Scott: "Sensitivity Analysis", New York,
Wiley, 2000
- Oakley and A. O'Hagan: "Probabilistic sensitivity analysis of complex
models: A
Bayesian approach", J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 16, pp. 751-769, 2004.
L'ASG est basée sur une décomposition de Sobol. Cette décomposition est
décrite dans le
document suivant : I.M Sobol: "Sensitivity estimates for nonlinear
mathematical models".
Mathematical Modelling and Computational Experiments, 1 :407-414, 1993.
Pour décrire la méthode, on considère un modèle mathématique décrit par une
fonction
f(x), x = (x xp), et défini dans espace à p dimensions SIP = {xI0 xi 1; i
=1,...p}
L'idée principale de la décomposition de Sobol est de décomposer f(x/,...,xp)
de la façon
suivante :
= fo -FE f,(xi)+
1=1
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avecfo une constante, et ffn .... õ (xi, ,...,xõ )dx = 0, où 1 il <....< is p,
s =1,..., p et
1 < k < s .
Selon cette définition, on peut écrire :
fo = f (x)dx
et si ( i/ ..... is ), alors L fil isf1 dx = 0
Sobol a montré que la décomposition de f(xi,...,xp) est unique et que tous les
termes
peuvent être évaluées via des intégrales multidimensionnelles :
fi (x) = ¨f0 + ,_, f (x)dxi
f,i(xõ x i) = ¨ ¨ f;(xi)¨ fi(xj)+ ir_, f(x)dxil
avec dxi et dxii le produit dx i...dxp sans dxi et dxi dxj, respectivement.
La variance totale V de f(x) peut alors s'écrire :
V =EVi
i=1 15i<jSp
ou encore: V= f 2 (x)dx ¨ fo2
Puis, pour expliquer la part de la variance des réponses due aux paramètres
d'entrées,
l'indice de sensibilité suivant peut être défini :
=
Sn ........... = ' for 1 il < < is p
V
Si est appelé l'indice de sensibilité de première ordre pour le facteur xi.
Cet indice
mesure la part de la variance de la réponse expliquée par l'effet de xi.
S j, pour i j, est appelé l'indice de sensibilité de second ordre. Cet indice
mesure la
part de la variance de la réponse due aux interactions entre les effets de x;
et xi.
L'indice de sensibilité total, Sri pour un paramètre particulier xi, défini
comme la somme
de tous les indices de sensibilité impliquant les paramètres, peut également
être très utile pour
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mesurer la part de la variance de la réponse expliquée par tous les effets
dans lesquels xi joue
un rôle.
ST, = Sk où #i représente tous les termes Su is qui inclus
l'indice i.
k#i
L'analyse de sensibilité globale permet d'expliquer la variabilité des
réponses en
fonction des paramètres d'entrée, à travers la définition d'indices de
sensibilité total ou
partiel. Ces indices peuvent être estimés par des techniques de Monte Carlo ou
Quasi Monte
Carlo pour approximer les différentes intégrales multidimensionnelles,
nécessitant un large
échantillonnage.
Ainsi, l'analyse de sensibilité globale ne peut pas être utilisée directement
en utilisant un
simulateur d'écoulement. Selon l'invention, les calculs des indices de
sensibilité sont
effectués en utilisant des modèles analytiques pour chaque réponses. Ces
modèles analytiques
sont construits comme décrits précédemment.
L'Analyse de Sensibilité Globale (ASG) utilisée dans l'invention n'a pas les
limitations
classiques liées aux hypothèses que peuvent avoir d'autres méthodes permettant
les calculs
d'indices de sensibilité type Spearman, Pearson, SRC, indice de rang, ... La
seule hypothèse
est le fait que les paramètres incertains sont indépendants, ce qui élargi
grandement
l'utilisation de l'ASG utilisant la décomposition de Sobol. Cette hypothèse
est généralement
respectée dans les problèmes d'ingénierie de réservoir, puisque les liens
entre paramètres sont
connus a priori.
Au cours de cette analyse, on détermine la contribution de l'incertitude de
chaque
paramètre à la variance totale de la (ou les) réponse(s). Le principe consiste
à calculer
plusieurs indices de sensibilité (premier, deuxième, ... Nième ordre et
indices totaux)
permettant de connaître l'influence précise de chaque paramètre ou groupe de
paramètres sur
les réponses d'intérêt. Ces indices sont calculés par des formules nécessitant
le calcul
d'intégrales multiples pouvant être réalisé de manière approximative par des
techniques de
Monte Carlo ou Quasi Monte Carlo.
L'Analyse de Sensibilité Globale (ASG) des paramètres incertains sur les
réponses du
simulateur pen-net également d'évaluer l'effet moyen d'un paramètre sur une
réponse donnée.
Cet effet moyen peut être utilisé par exemple pour des paramètres
contrôlables, e.g. position
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d'un puit, débit d'injection etc... et constitue donc un outil simple de
comportement des
paramètres.
L'utilisation du modèle approché afin de faire de l'ASG, permet de déterminer
les
paramètres influents, et la façon dont ils sont influents. Il est ainsi
possible de connaître
l'impact total d'un paramètre, ainsi que son impact combiné avec un ou
plusieurs autres
paramètres sur la réponse en production ou économique du gisement. L'ASG
permet
clairement une meilleure compréhension du comportement du gisement. De plus,
la
détermination des effets moyens des paramètres est aussi un outil permettant
caractériser
l'influence moyenne d'un paramètre, compte tenue de l'incertitude sur les
autres paramètres
sur les réponses en production ou économique du réservoir.
Enfin, on peut déterminer les mesures supplémentaires à réaliser pour mieux
caractériser le gisement et ainsi faire décroître l'incertitude sur la
production future. La
quantification de l'influence des paramètres incertains sur la production du
gisement permet
de déterminer les paramètres les plus influents. Ainsi, pour limiter
l'incertitude sur la
production ou l'économie future du gisement, on caractérise d'abord les
paramètres les plus
influents. L'utilisation de la méthodologie décrite donne donc les moyens à
l'ingénieur
réservoir de déterminer les paramètres qui doivent être mieux définis, et
donc, donne un guide
dans le choix des nouvelles mesures à réaliser (logging, carottage, SCAL,
...). Une fois les
paramètres influents mieux caractériser par mesures, il est alors possible
d'utiliser à nouveau
la méthodologie décrite afin de propager l'incertitude pour quantifier la
nouvelle incertitude
sur les réponses de production ou économique du réservoir.
La propagation, l'analyse de sensibilité globale et le calcul des effets
moyens requièrent
plusieurs milliers d'évaluation de la ou des réponses associées. Cela rend
donc ces méthodes
inutilisables directement avec des gros codes numériques (comme c'est le cas
pour les
simulateurs d'écoulement), d'où l'intérêt de construire des modèles approché
prédictifs,
permettant d'utiliser ces techniques très intéressantes pour les réponses
qu'elles apportent à
des questions métiers.
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Selon un autre mode de réalisation, les paramètres d'entrées comporte des
champs
stochastiques, e.g. perméabilité, porosité, faciès,... L'incertitude provenant
des cartes
géostatistiques est souvent négligée dans les méthodes d'analyse d'incertitude
basée sur des
plans d'expérience.
5 Dans le cas de paramètres de type champ stochastique on décompose le
champ
stochastique en un nombre n de composantes via la décomposition de Karhunen-
Loeve (M.M.
Loève. Probability Theory. Princeton University Press, 1955.). Les techniques
géostatistiques
utilisés en ingénierie de réservoir pour modéliser les grandeurs de
perméabilité et de porosité
des roches, sont pour la plupart basées sur des fonctions aléatoires
gaussiennes, discrétisés sur
10 un maillage couvrant l'espace physique du réservoir. La décomposition de
Karhunen-Loève
d'un modèle géostatistique consiste à représenter celle-ci dans la base formée
des vecteurs
propres de son opérateur de covariance. On obtient ainsi une représentation
fonctionnelle du
champ aléatoire. En ne conservant qu'un nombre limité de composantes dans
cette
représentation, on obtient une approximation du champ aléatoire qui représente
une part
15 quantifiable de la variance du processus. En effet, à chaque terme de la
décomposition est
attribuée une part de la variance globale qui est égale à la valeur propre
associée au vecteur
propre correspondant. On peut ainsi quantifier l'erreur d'approximation en
terme de variance.
Le nombre de composantes nécessaires à reproduire le modèle géostatistique est
souvent
assez élevé. Des tests numériques ont montrés qu'une centaine de composantes
peuvent être
nécessaires dans certains cas. Pourtant, dans beaucoup de cas, seule la
variation d'un nombre
limité de ces composantes va impacter les réponses en production simulées du
modèle de
réservoir, par exemple le cumulé d'huile après 10 ans de production. Selon
l'invention, on
sélectionne les composantes du champ stochastique ayant un impact sur les
réponses d'intérêts
simulées, à l'aide d'une analyse de sensibilité globale avec un modèle
approché comme
indiqué dans les étapes précédentes.
Avantages
La méthode selon l'invention constitue un outil pour l'analyse des
incertitudes d'un
simulateur d'écoulement, et pour aider un ingénieur à réduire cette
incertitude, en se
focalisant sur la caractérisation des paramètres dont l'incertitude contribue
de façon principale
à la mauvaise caractérisation des sorties.
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Cette méthode fournit un outil robuste et à moindre coût (en termes du nombre
de
simulations) pour l'analyse de sensibilité globale et la propagation des
incertitudes. Elle
permet à l'ingénieur de contrôler le degré d'approximation de ses résultats en
analysant en
temps réel les avantages en termes de prédiction par rapport au nombre de
simulatiohs
effectuées.
L'analyse de sensibilité globale et l'effet moyen des paramètres permettent de
voir
l'impact de l'incertitude d'un paramètre sur l'incertitude globale d'une
réponse, et donne donc
un guide dans le choix des nouvelles mesures à réaliser afin de mieux
caractériser les
paramètres ayant un rôle central sur les résultats de production ou
économiques.
Enfin, la méthode permet la prise en compte des incertitudes du modèle
géostatistique
(perméabilité, porosité, faciès, ...) par une utilisation des techniques de
surface de réponse et
d'analyse de sensibilité globale.
