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PROCEDE POUR L'OBTENTION D'UNE REPRESENTATION ADAPTEE
A LA CORRELATION D'ENREGISTREMENTS MONODIMENSIONNELS
L'invention concerne un procéde pour l'obtention
d'une représentation particulierement adaptée a la
correlation de signaux dans des bandes de fréquences
identiques et l'application de ce procede en geophysique aux
calages stratigraphiques et aux calages entre données de
puits et données sismiques.
Dans de nombreux domaines, il est necessaire de
corréler rapidement deux ou plusieurs courbes representant
les variations d'une premiere grandeur y en fonction d'une
seconde grandeur x, pour des besoins de comparaison,
d'ajustement, etc.
Les courbes à comparer peuvent etre de meme nature,
c'est-a-dire representer les variations d'une même premiere
grandeur en fonction d'une meme deuxieme grandeur, ou de
nature différente. Il peut par exemple s'agir des
enregistrements d'un même phénomene physique mais décales
dans le temps ou l'espace, ou des enregistrements relatifs a
des phenomenes physiques differents ou encore des
enregistrements relatifs a un même phénomène physique
enregistré par exemple par des méthodes differentes de sorte
que leur contenu frequentiel est different.
Les corrélations peuvent s'effectuer numeriquement.
Le résultat obtenu est en genéral global et peu fiable si on
ne fait pas d'hypotheses contraignantes sur les signaux, la
méthode consistant alors a choisir entre plusieurs pics
d'auto-correlation. La correlation peut être effectuee
visuellement, par décalage manuel d'une des courbes par
rapport a l'autre le long de l'axe de la deuxième grandeur.
on recherche ainsi par décalages successifs la similitude
optimale sur une ou plusieurs portions de la courbe. Cette
m~thode permet de tenir compte des connaissances a priori.
C'est celle qui est couramment employée en geophysique pour
le calage en profondeur ou en temps des horizons sismiques
ou pour la corrélation d'enregistrements effectues dans un
puits et d'enregistrements sismiques.
: - ' : ' ';
:
~, , .. . , .:
.
. , .
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Le principal inconvenient d'une telle methode réside
dans la difficulte qu'il y a a comparer des signaux de
formes qui peuvent être tres differentes, par exemple si
leur contenu frequentiel est different.
Le procedé selon l'invention permet l'amelioration
de la fiabilite des correlations effectuees visuellement
entre au moins deux enregistrements grâce a l'introduction
des analyses temps-fréquence pour comparer les signaux dans
des bandes de fréquence identiques.
On connaît un procéde d'analyse d'un signal
permettant de décomposer ledit signal comme une somme de
fonctions élementaires ~a b ou ondelettes qui vibrent
chacune comme des sinusoïdes sur une plage dont la position
sur l'axe x est liee au parametre b et dont la largeur est
liée au parametre a (fréquence centrale), e~ qui
s'amortissent tres fortement a l'exterieur de cette plage.
La décomposition d'un signal a l'aide d'une famille de ces
ondelettes constitue ce qu'on appelle une analyse "temps -
frequence" car les premieres et plus courantes
décompositions ont éte effectuées sur des enregistrements
des variations d'une premiere grandeur en fonction du temps
(la deuxieme grandeur). Dans ce cas, la dimension du
parametre b est celle d'un temps et la dimension du
parametre a est la dimension de l'inverse d'un temps donc
d'une fréquence temporelle.
Pour plus d'informations sur la decomposition en
ondelettes ou les analyses "temps - fréquence", on se
réferera a l'article "L'analyse par ondelettes" de
Yves MEYER et al., paru dans "Pour la Science" de Septembre
1987, ou encore a l'ouvrage "Wavelets" de J.N. COMBES et al.
aux editions Springer-Verlag, article et ouvrage que l'on
intégrera a la présente description.
Plusieurs types de fonctions peuvent être utilisées,
permettant de definir de nombreuses familles d'ondelettes
ayant des propriétés différentes. Celles-ci peuvent être par
exemple des Gaussiennes, des fonctions creneaux ou
triangles, des fonctions reelles ou complexes, orthogonales
ou non entre elles. On se réferera a l'article cite
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precédemment pour connaitre les contraintes applicables a
ces diverses fonctions et a d'autres pour genérer des
familles d'ondelettes.
Pour une famille d'ondelettes ~a b déterminée, on
definit la "transformee en ondelettes" à deux dimensions x
et z associee a un enregistrement selon L I axe x comme la
suite des coefficients Ca,b correspondant chacun a
l'integrale du produit de l'enregistrement a analyser par
l'ondelette élémentaire ~a b selon les valeurs de b suivant
l'axe x et les valeurs de a suivant un axe z. Dans le cas ou
l'on a choisi des ondelettes complexes pour effectuer
l'analyse temps - fréquence d'un enregistrement ou d'un
signal, il devient possible de definir la partie réelle, la
partie imaginaire, le module ou encore la phase de la
transformée en ondelettes.
Le procédé pour l'obtention d'une représentation
particulierement adaptee a la correlation, dans une même
bande fréquentielle [fl, f2] selon un axe z, d'au moins deux
enregistrements monodimensionnels sl et s2, des variations
d'une premiere grandeur ~yl et y2) fonction d'une seconde
grandeur (xl et x2) variant le long d'un axe x, est
caractérisé en ce que :
- on définit une famille d'ondelettes d'analyse en
choisissant une fonction ondelette ~a,b(x) dépendant d'un
parametre a représentant la frequence de l'ondelette et d'un
parametre b définissant la position de l'ondelette sur l'axe
x et en définissant pour la fréquence a une suite de m
valeurs allant de fl a f2, m étant au moins egal au nombre
d'octaves compris dans la plage de frequence [fl, f2], et
pour le parametre b une suite de n valeurs,
- sur la base de cette famille d'ondelettes, on calcule pour
chacun des enregistrements sl et s2 les transformées en
ondelettes correspondantes S1 et S2 avec leurs n m
coefficients respectifs Cla b et C2a b' la transformee en
ondelettes d'un enregistrement s (x), s(x) désignant s1 ou
52' étant dé~inie comme la double suite des n m coefficients
Ca b tels que Ca b = ~ s(x) ~ a b(x)dX, lorsque les
--oo
.
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paramètres a et b prennent successivement les différentes
valeurs qui leur sont attribuees,
- pour chacun des enregistrements, on construit au moins une
matrice dont les coefficients Aa b sont une grandeur à
savoir soit le module, soit la phase, soit la partie reelle
soit encore la partie imaginaire de chacun des coefficients
Ca b en fonction des valeurs croissantes de a et b,
- on transpose selon l'axe frequentiel la ou les matrices
associées a un des deux enregistrements, et
- on représente par paires, à fin de corrélation optique, la
matrice transposée associée à l'une desdites grandeurs et
correspondant a l'un des enregistrements et la matrice non
tranposée associée a la même grandeur et correspondant à
l'autre enregistrement, en disposant côte à côte lesdites
matrices transposee et non transposée de sorte que tous les
coefficients Aa b correspondant à une même valeur de b
soient sur un même alignement et que quand on décrit chaque
alignement on rencontre les coefficients de l'une des
matrices suivant les valeurs decroissantes de a puis les
coefficients de la seconde matrice suivant les valeurs
croissantes de a ou, de preférence, on rencontre les
coefficients de l'une des matrices suivant les valeurs
croissantes de a puis les coefficients de la seconde matrice
suivant les valeurs décroissantes de a.
Pour la représentation, on choisit par exemple une
palette de couleurs ou de gris adaptées aux valeurs prises
par les différents Aa b. -
La fonction ondelette ~ a,b(x) choisie pour
construire la famille d'ondelettes d'analyse peut etre, par
exemple, une Gaussienne, une fonction créneau ou triangle,
cette fonction ondelette pouvant être reelle ou complexe et
donner naissance a une famille d'ondelettes orthogonales ou
non entre elles. Les fonctions de la famille sont m
ondelettes élementaires se déduisant les unes des autres par
dilatation. Comme indiqué plus haut m est au moins egal au
nombre d'octaves compris dans la plage fixe [fl, f2~
d'analyse. Les n valeurs formant la suite des valeurs
attribuées au parametre b pour l'analyse correspondent
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preferentiellement aux coordonnees du centre des plages
elémentaires d'analyse sur l'axe x.
On choisira preferentiellement des ondelettes
elementaires complexes de façon a representer la phase des
transformées, par exemple des ondelettes dites de "MORLET".
Le procedé de l'invention trouve une application
particulièrement intéressante dans le domaine de la
géophysique, en particulier pour les operations dites de
calage stratigraphique. Les operations consistent à correler
au moins un enregistrement sismique (ou trace sismique),
situé au droit ou au voisinage d'un puits de forage avec une
trace synthétique construite le plus souvent à partir de
mesures effectuees dans le puits, ceci afin d'associer avec
precision a chacun des marqueurs principaux de la sismique
un niveau geologique reconnu dans le puits. De façon
génerale, on peut en géophysique être amene à correler entre
eux des enregistrements d'origines differentes, par exemple
deux traces sismiques associées a une meme verticale au
croisement de deux profils sismiques mais enregistrees lors
de deux campagnes sismiques differentes, ou encore une trace
sismique et un enregistrement effectue dans un puits au
voisinage (diagraphies log ....).
Il est courant dans ce domaine, pour faciliter la
corrélation optique des enregistrements sismique et
synthetique lors d'un calage stratigraphique, de dupliquer
la trace synthétique une dizaine de fois par exemple et
d'insérer le groupe de traces ainsi obtenu entre les deux
enregistrements sismiques entourant le lieu du puits.
Le procédé de représentation selon l'invention
permet d'améliorer encore plus la perception optique et la
compl~te par l'apport d'informations supplémentaires dues a
la transformée.
D'autres caractéristiques et avantages de
l'invention apparaitront a la lecture de la description
suivante d'un exemple d'application particulier, tire du
domaine géophysique, en réference aux dessins annexés, dans
lesquels :
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- la figure 1 represente une trace sismique T1(t) d'un
profil sismique representant les accélérations du sol en un
lieu M en fonction du temps t pour des temps variant entre
200 et 3800 millisecondes ainsi que la phase et le module de
sa transformée temps - fréquence, par pas de 4 ms, avec
autant de pixels que d'echantillons,
- la figure 2 représente une autre trace T2(t) representant
les accelerations du sous-sol au lieu M et appartenant à un
second profil sismique croisant le premier profil au lieu M,
ainsi que la phase et le module de sa transformee temps -
fréquence,
- la figure 3 montre une representation selon l'invention
permettant une corrélation optique aisee des deux traces
T1(t) et T2(t), a partir de l'utilisation de la phase de
leurs transformées temps - fréquence. La representation est
limitee a 2400 ms et le nombre de frequences réduites.
La fonction utilisée ici pour la décomposition en
ondelettes des traces est une ondelette dite de "MORLET" de
la forme
(1) +2~it ~t2Ln(2)
~ (t) = e x e
Dans cette formule, i est le nombre imaginaire dont
le carre est égal a -1, e est la base des logarithmes
népériens et Ln(2) est le logarithme neperien de 2.
Cette fonction permet de générer toute une famille
de fonctions élementaires ou ondelettes ~ b
, ~ a,
(t) = ~ J[a(t-b)]
a,b
o~ a est la frequence de la fonction elémentaire et b la
position sur l'axe t ou est centree ladite fonction
élémentaire.
Pour une fréquence a donnee, les coefficients
Ca b(t) de la transformee en ondelettes sont le resultat de
la somme en continu du produit de l'enregistrement T(t)
representant Tl(t) ou T2(t) par la suite des fonctions
élementaires ~a b tCo
Ca,b(t) =~ T(t) ~ a,b(t) dt
_oo
. .
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Il est courant de choisir une echelle logarithmique
pour l'axe des frequences, puis de decomposer la plage de
frequences etudiée en octaves (ceci toutefois n'est pas
obligatoire, l'echelle pouvant tout aussi bien être
lineaire, logarithmique ou autre). En l'occurrence, l'ëtude
a éte faite ici pour une meme plage de freauences comprises
entre deux frequences fl et f2, delimitant 4 octaves
comportant chacun 16 échantillons, ce qui a permis de
définir 65 frequences d'analyses aj definies comme suit,
avec fl = 1000/16x16 Hz et f2 = 1000/16 Hz :
(j-1)/16
aj = flx2
A chacune des m frequences aj (m = 65 dans cet
exemple) est associée la suite des coefficients Ca b(t)
calculés comme indiqué ci-dessus.
La suite des n points b d'analyse a ete definie
comme identique a la suite des temps d'echantillonnage des
traces Tl et T2 (toutes les 4 ms).
Le resultat de l'analyse temps - frequence d'un
enregistrement T(l) est donc ici constituee de la suite de
65 courbes de variation dans le temps Ca b~ chacune des 65
courbes etant associee a une des frequences d'analyse et
consistant en une suite de n coefficients Ca b. Les
fonctions élémentaires utilisees ici etant complexes, il
2S convient de representer soit le module, soit la phase, soit
la partie réelle, soit encore la partie imaginaire de la
transformée. Nous avons choisi de représenter la phase et le
module. Chacune des traces monodimensionnelles T(t) d'axe t
donne ainsi apres analyse deux representations
bidimensionnelles, image de deux matrices A(TI), P(TI) dont
une des dimensions est la même que celle de la trace
analysée (axe t) et dont l'autre dimension est un axe
~requentiel f. La matrice A est représentative d'une
amplitude et la matrice P d'une phase, pour chaque point
(t,f) considéré.
Pour correIer les traces Tl et T2, on va chercher
dans les deux matrices Al(Tl) et A2(T2) les plages de
frequence pour lesquelles les deux traces ont une amplitude
minimale de façon a filtrer l'image pour ne travailler que
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sur la partie de la matrice significative (présence de
signal).
Ensuite, on va correler optiquement les traces grâce
aux matrices Pl(Tl) et P2(T2) en commençant par les basses
fréquences et en terminant par les plus hautes frequences.
La corrélation s'arrete dans la bande de frequences la plus
haute où les signaux peuvent etre compares de façon
cohérente.
La représentation graphique la plus performante pour
effectuer cette correlation optique consiste à transposer
une des matrices associées à Tl selon l'axe f et à la
juxtaposer selon l'axe t à la matrice correspondante
associee a T2 de telle sorte que les coefficients desdites
matrices correspondant a un même t soient sur un même
alignement et que lorsque l'on décrit chaque alignement on
rencontre les coefficients de l'une des matrices selon les
valeurs croissantes de la fréquence puis les coefficients de
la seconde matrice suivant les valeurs décroissantes de la
fréquence. On profite ainsi de la puissance de detection de
symétrie de l'oeil humain.
Dans l'exemple traité, l'axe t est vertical et les
différents axes f sont horizontaux. Sur la figure 3, on
trouve deux representations selon l'invention. Sur la
premiere image a gauche (titre : PHASE), les deux matrices
PlT~Tl) et P2(T2) ont été juxtaposées, plT(Tl) apparaissant
a gauche de l'image (basses fréquences a gauche et hautes
fréquences a droite), et P2(T2) apparaissant a droite
(hautes frequences a gauche, basses fréquences a droite). Il
peut être interessant de laisser un blana entre les images
de ces deux matrices et même d'intercaler entre ces deux
images au moins l'une des traces que l'on cherche a correler
avec l'autre.
Dans la seconde image (titre : ENERGIE), ce sont les
matrices AlT(Tl) et A2(T2) qui ont éte représentées, selon
la même disposition.
L'image des énergies permet de reperer d'un seul
coup d'oeil les zones de frequences ou il y a de l'energie
dans les deux signaux. L'image des phases permet, par
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' ............................. 9 ~5gl~
symetrie, de distinguer des configurations communes, d'abord
dans les basses frequences en comparant les parties extrêmes
gauche et droite de la representation, puis d'affiner dans
les hautes frequences en comparant les parties centrales de
la representation.
Le procede de representation selon .l'invention peut
être automatiquement execute a l'aide d'un micro-ordinateur
ou de station et d'un logiciel permettant le calcul de la
transformee temps - frequence d'un signal, et equipe d'un
écran graphique haute définition permettant la visualisation
des matrices et des courbes. Dans le cas present, le calcul
a eté effectué par un logiciel ecrit en F77 et langage C sur
un ordinateur de type HP 9OOO s 300 et les donnees ont ete
visualisées sur le meme ordinateur equipé d'un ecran CH
(standard HP) sur lequel tournait un serveur X Windows (XII,
R3).
L'invention ne se limite pas a l'exemple decrit et
representé, diverses modifications pouvant etre apportees
sans que l'on sorte pour autant du cadre de l'invention. Le
proc~edé s'applique en particulier a la corrélation de tous
types d'enregistrement, réel ou complexe, quelle que soit la
variable.
