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CA 02207670 1997-0~-29
PP~CFnE DE SYNTHFSE D'UN Fll Tl~l~ NUMFR~IQUE A REPONSE
IMPUI SIONNFI I F FINIE ET FILTF~F ORTENU SFI ON I F PR O CFnE
La présente invention concerne un procédé de synthèse d'un filtre
5 numérique à réponse impuisionnelle finie, ainsi qu'un filtre numérique obtenu
selon ce procéde.
Dans le domaine du traitement du signal, I'opération de filtrage,
permettant d'extraire le signal utile et d'éliminer les perturbations, constitue une
opération essentielle. En conséquence, une littérature énorme lui est consacrée.Le traitement numérique du signal a ceci d'avantageux par rapport au
traitement analogique qu'il permet notamment une reproduction exacte des
signaux et des traitements, sans introduire de processus de vieillissement. C'est
pourquoi on se limite dans la suite au domaine du filtrage numérique.
Parmi les différents types de filtres numériques connus, on distingue
d'une part, le filtre numérique à réponse impulsionnelle finie ~filtre numériqueRIF), et d'autre part, le filtre à réponse impulsionnelle infinie (fltre numérique
Rl 1).
Le filtre numérique RIF est un système linéaire discret invariant dans le
temps dont la sortie est déterminée par une sommation pondérée d'un ensemble
fini d'échantillons d'entrée, les coefficients de pondération étant constitués par
les coefficients ou poids du filtre définissant sa réponse impulsionnelle. Un tel
filtre est couramment appelé filtre non récursif du fait qu'il ne nécessite aucune
boucle de réaction dans sa mise en oeuvre.
Le filtre numérique Rll est également un système linéaire discret
invariant dans le temps, mais pour lequel la sortie est déterminée par une
sommation pondérée d'un certains nombre d'entrées et d'un certains nombre de
sorties de ce même filtre acquises antérieurement. Ce type de filtre, dont la mise
en oeuvre nécessite une boucle de réaction pour prélever les sorties acquises
antérieurement, est couramment appelé filtre récursif.
Le filtrage RIF présente de nombreux avantages parmi lesquels nous
citerons la stabilité numérique et la linéarité de phase. En outre, la complexité de
mise en oeuvre d'un filtre RIF est inférieure à celle d'un filtre Rll de gabaritfréquentiel comparable. Ces considérations montrent l'intérêt d'optimiser la
conception et la mise en oeuvre des filtres RIF.
D'une manière générale, pour synthétiser un filtre numérique RIF, on
procède au prealable à la synthèse d'un filtre analogique, puis on echantillonne
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.
Ia réponse impulsionnelle du filtre analogique obtenu de façon à extraire les
coefficients du filtre numérique RIF.
Les méthodes connues de synthèse de flltres numérique RIF peuvent
être classées en deux groupes, selon que l'on se place dans le domaine
S fréquentiel ou dans le domaine temporel, à savoir respectivement les méthodes
dites par gabarit dans lesquelles on impose un gabarit de fréquence, et l'on
calcule un filtre dont la fonction de transfert ou réponse en fréquence respecteau mieux du gabarit de fréquence, et les méthodes dites à fenêtrage. Aucun de
ces deux types de méthodes ne donne une relation directe entre les coefficients
du filtre RIF dans le domaine temporel et la fonction de transfert de ce filtre dans
le domaine fréquentiel. Il en résulte, pour les méthodes par gabarit, des
algorithmes diffciles à mettre en oeuvre, du type algorithme de Remez, et, pour
les méthodes à fenêtrage, des performances insuffisantes dans la plupart des
cas.
La présente invention a pour but de proposer un nouveau procédé de
synthèse d'un filtre numérique RIF permettant de spécifler les caractéristiques du
filtre simultanément dans le domaine temporel, de façon à définir la complexité
du flltre, et dans le domaine fréquentiel, de façon à définir les performances du
filtre.
Pour ce faire, la présente invention a pour objet un procédé de synthèse
d'un filtre numérique à réponse impulsionnelle finie comprenant une phase de
calcul de la réponse impulsionnelle g(t) d'un flltre analogique dont la fonction de
transfert est déflnie par une largeur de bande B, un facteur de forme SF, et un
niveau d'atténuation hors bande ~ prédéterminés, et une phase d'extraction des
coefflcients du filtre numérique par échantillonnage de ladite réponse
impulsionnelle, caractérisé en ce que la phase de calcul consiste à effectuer undéveloppement de la réponse impulsionnelle en un nombre entier M de fonctions
de Hermite prédéterminé en fonction dudit facteur de forme SF, et en ce que la
phase d'extraction des coefficients comporte un échantillonnage de la réponse
impulsionnelle développée issue de la phase de calcul sur une fenêtre
temporelle dont la durée est fonction dudit niveau d'atténuation hors bande A,
avec un pas d'échantillonnage ~t fonction de ladite largeur de bande B.
Dans une variante préférentielle du procédé selon l'invention, ladite
phase de calcul comprend les étapes suivantes:
- rechercher une décomposition de la fonction de transfert du flltre
analogique soùs la forme d'une somme des M premières fonctions de Hermite
d'ordre pair pondérées par des coefficients de pondérations tels que les dérivées
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; 3
d'ordre n de ladite somme, n étant un entier variant de 1 a 2M-1, soient nulles
pour la fréquence nulle;
- en déduire le développement de la réponse impulsionnelle par
transformation de Fourier inverse de ladite somme.
L'invention a également pour objet un filtre numérique à réponse
impulsionnelle finie, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens de stockage
des coefficients extraits par une synthèse préalable du filtre par le procédé
précédent pour la réalisation d'un filtrage de largeur de bande minimale B, de
raideur SF et d'atténuation hors-bande A prédéterminées, et des moyens de
l O modification de la largeur de bande effectuant une sélection parmi les
coefficients stockés d'un nombre réduit d'un facteur k donné de coefficients de
manière à pern ettre une opération de filtrage de largeur de bande kB sur des
échantillons d'un signal d'entrée.
Les différents aspects de la présente invention seront mieux compris au
vu de la description ci-après de la synthèse d'un filtre numérique passe-bas, faite
en référence aux figures annexées dans lesquelles:
- les figures 1A à 1D illustrent l'allure des quatre premières fonctions de
Hermite;
- la figure 2 représente l'allure de la réponse impulsionnelle et de la
fonction de transfert d'un filtre obtenu par le procédé de synthèse selon
l'invention, à partir d'un développement selon les quinze premières fonctions deHermite d'ordre pair;
- la figure 3 illustre l'influence du nombre M de fonctions de Hermite
utilisé sur le facteur de forme du filtre synthétisé selon le procédé de l'invention;
- la figure 4 illustre l'influence du pas sur la largeur de bande à -6dB du
flltre synthétisé selon le procédé de l'invention;
- la figure 5 illustre l'influence de la duree de la fenêtre d'échantillonnage
sur le niveau d'atténuation hors bande du filtre synthétisé selon le procédé de
l'invention;
- la figure 6 représente, sous forme de synoptique simplifié, les
opérations réalisées au moyen d'un filtre conforme à l'invention.
Rappelons tout d'abord que la réponse impulsionnelle g(t) d'un filtre
analogique est reliée à la fonction de transfert ou réponse en fréquence G(o~) de
ce filtre par les relations:
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G(~) = TF[g(t)l = ~ 7g(t)e~j~'tdt
7~
(1)
g(t) = TF-1[G(c~ G(c~)ei~tdt
dans laquelle TF[ ] représente l'opérateur transformée de Fourier, et TF-1l ]
représente l'op~rateur transformée de Fourier inverse.
La présente invention est fondée sur la propriété selon laquelle tout
signal analogique fini, en l'occurrence toute réponse impulsionnelle analogique
finie d'un filtre, peut ~tre approché par un d~ve10ppement selon les fonctions
propres de la transformée de Fourier. Cette propriété permet d'établir une
correspondance immédiate entre la réponse impulsionnelle d'un filtre et sa
fonction de transfert. En effet, une fonction ~ (x) est fonction propre de
I'opérateur TF~ j si elle vérifie la relation:
TF[~r(x)]= A~(x) (2)
dans laquelle ~ est un nombre complexe appelé valeur propre.
On cherche a réaliser des filtres qui ont une réponse impulsionnelle la
plus courte possible pour un gabarit donné. On se limite donc dans la suite aux
fonctions propres qui tendent vers zéro a l'infini, ces fonctions propres étant dites
à carré sommable.
Or, on peut démontrer que les seules fonctions propres de l'opérateur
transformée de Fourier qui repondent au critère précédent sont constituees par
les fonctions de Hermite définies par la relation suivante:
~yh(X) = (_1)nex2/2 d ~e-x2] (3)
dans laquelle d [ ] represente l'opérateur dérivée d'ordre n par rapport a la
variable X.
Les valeurs propres An associées aux fonctions de Hermite ~n(x) sont
telles que
~n = (-i)
On peut aisément démontrer en outre que les fonctions de Hermite
vérifient l'équation
-
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.
+~
¦'Yn(X)~m(x)dx - 2nn ! ~m n (4)
avec~mn=0pour m=n
et ~m n = I pour m ~ n
cette équation traduisant le fait ~ue les fonctions de Hermite sont orthogonales.
Les figures 1A à 1D illustrent l'allure des quatre premi~res fonctions de
Hermite normalisées.
En conséquence, les fonctions de Hermite constituent une base
orthogonale complète sur la~uelle il est possible de développer tout signal ou
toute fonction analogique finie. En particulier, toute r~ponse impulsionnelle outoute fonction de transfert d'un filtre analogique ~ réponse impusionnelle finiepeut être d~veloppée sous la forme d'une somme pondérée des M premières
fonctions de Hermite.
Dans le cas particulier le plus simple d'un filtre passe-bas, la
fonction de transfert théorique du filtre présente une valeur constante à l'intérieur
de la bande utile. En pratique, on recherche, dans le procédé selon l'invention, à
synthétiser un filtre passe-bas en imposant une fonction de transfert aussi plate
que possible a l'intérieur de la bande utile.
Or, I'analyse des fonctions de Hermite montre que toutes les
fonctions de Hermite d'ordre impair s'annulent à la fréquence nulle (voir par
exemple les courbes illustrées sur les figures 1b et 1d) ll en résulte que ces
fonctions de Hermite d'ordre impair présentent peu d'intérêt pour la synthèse
d'un filtre passe-bas, car elles ne permettraient pas d'obtenir une bande plate
2s aux fréquences centrales. En outre, les valeurs propres ~n associées à ces
fonctions d'ordre impair sont complexes. Leur utilisation conduirait ainsi à desréponses impulsionnelles complexes beaucoup plus difficiles à mettre en oeuvre.
On considere donc dans la suite de l'exposé que toute fonction de
transfert d'un filtre passe-bas peut s'écrire sous la forme d'une somme pondéréedes M premières fonctions de Hermite d'ordre pair, soit
M-1
G(~ aj~2j((o) (5)
i=o
Pour obtenir un filtre à bande plate, il suffit, conformément à
l'invention, d'imposer l'annulation des premières dérivées d'ordre n, I'entier nvariant de 1 à 2M-1, de la somme G(~) donnée par la relation (5), et ce pour la
fréquence nulle.
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En partant de la relation (3) précédente donnant la définition d'une
fonction de Hermite, on peut démontrer que toute les dérivées d'ordre impair de
G(cl~) sont nulles ~ la fréquence nulle, et ce, quelles que soient les valeurs
prises par les coefficients de pondération.
S 11 en résulte qu'un filtre à bande plate peut être obtenu en annulant
seulement les M-1 premières dérivées d'ordre pair de G(cl)) pour c~ égal à 0.
La condition de platitude dans la bande utile se traduit donc par le
système linéaire à M équations ci-après:
M-1
~ aj~ 2i(~) = G
M-1 -
~ ai~2i(~)= ~
i=O
M-1
~ ai~ (22(M~1))(~) = ~
i=o
dans lequel G represente la valeur constante de la fonction de transfert à
l'intérieur de la bande utile, ~2i(0) représente la dérivée d'ordre 2 par rapport à
la variable c~ de la fonction de Hermite ~2i( ) pour co égal 'à 0, et y~(2(M~1))(0)
représente la dérivée d'ordre 2(M-1) par rapport à la variable ~ de la fonction
de Hermite ~2i( ) pour ~ égal à 0.
La résolution du système précédent par toute méthode connue de
résolution d'un système linéaire permet de déterminer les coefficients a
25 pondérant la somme des M premières fonctions de Hermite utilisées selon
l'invention pour le developpement de la fonction de transfert G(~).
Une méthode particulière de résolution du système (S) précédent
consiste à rechercher une expression de G(~) sous la forme:
G(~,~) = e~~~2/2P(~
30 dans laquelle P(cl)) est un polynôme en ~ de degré 2 (M-1) dont les 2 (M-1)
premières dérivées sont nulles pour ~ égal à 0.
En utilisant par ailleurs les premiers termes du développement en
série entière de la fonction exponentielle e'D /2 par rapport à la variable c~2 / 2,
on montre que le polynôme P(c,)) s'exprime sous ia forme
M-1 ~2k
~ 2kk
k=o
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de sorte que
M-1 ~2k
G(~) = e-", 12 ~ k (6)
On identifie alors le polynôme P(c,)) à une somme pondérée de M
polynômes de Hermite H2j(co), ces polynômes étant reliés aux fonctions de
Hermite par la relation:
) = e-~2/2H (c,~)
En procédant ainsi, on retrouve bien les coefficients de pondération
aj intervenant dans la relation (5) précédente. L'obtention de la réponse
impulsionnelle g(t) est alors immédiate du fait de la relation (2) vérifiée par les
fonctions de Hermite.
La figure 2 illustre sur un même diagramme les courbes
représentant l'allure de la réponse impulsionnelle g(t) et de la fonction de
transfert G (Q)) d'un filtre passe-bas obtenu à partir d'une sommation selon
l'invention des quinze premières fonctions de Hermite d'ordre pair, les deux
courbes étant représentées en échelle logarithmique.
On constate sur cette figure 2 que la réponse impulsionnelle g(t)
présente vingt-neuf lobes. Parmi ces lobes, vingt-huit lobes 1 présentent
sensiblement la même largeur et sont situés de part et d'autre de l'origine, et un
lobe 2 centré sur l'origine présente une largeur sensiblement double. On peut
généraliser ce résultat à tout filtre passe-bas résultant d'un développement selon
une somme pondérée des M premières fonctions de Hermite d'ordre pair. Dans
ce cas, la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas comprendra 2M-1 lobes.
Dans tout ce qui précède, on a montré comment obtenir la réponse
impulsionnelle d'un filtre analogique passe-bas au moyen d'un nombre
quelconque M des premières fonctions de Hermite d'ordre pair, sans imposer de
quelconques caractéristiques opérationnelles.
Il reste maintenant à définir les caractéristiques opérationnelles du
filtre que l'on souhaite synthétiser, et à extraire les coefficients du filtre
numérique associé, en échantillonnant la réponse impulsionnelle g(t).
Du point de vue opérationnel, un filtre passe-bas est défini par trois
paramètres opérationnels, à savoir une largeur de bande B, par exemple à -6dB,
un facteur de forme ou raideur SF, défini par exemple comme étant le rapport de
la largeur de bande à -6dB à une largeur de bande à -60dB, et un niveau
d'atténuation hors bande minimum A.
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-
Du point de vue technique, et conformément au procédé selon
l'invention, le filtre est défini par trois paramètres techniques, à savoir le nombre
M de fonctions de Hermite utilisé dans le développement, la durée de la fenêtre
d'échantillonnage, et le pas d'échantillonnage ~t sur cette fenêtre.
s Les essais menés par la Demanderesse ont permis de mettre en
évidence le fait que chacun des trois paramètres techniques n'agit que sur un
seul des trois paramètres opérationnels, et ce, avec une approximation
suffisante en pratique.
Plus précisément, on peut montrer tout d'abord que le nombre M de
10 fonctions de Hermite utilisé pour le développement de la fonction de transfert du
filtre fixe la valeur du facteur de forme SF du filtre. Ce résultat est illustré sur la
figure 3 qui représente, en échelle logarithmique, la fonction de transfert d'unfiltre obtenu à partir respectivement de trois fonctions de Hermite (courbe (I)),
douze fonctions de Hermite (courbe (Il)) et trente-six fonctions de Hermite
15 (courbe (Ill)).
A partir de ces courbes, on constate que le niveau d'atténuation
hors bande est sensiblement égal à -93dB et que la largeur de bande a -6dB
reste égale à 2 x 0,125 (fréquence normalisée f/fs), et ce, quel que soit le nombre
de fonctions de Hermite utilisées.
Seul le facteur de forme SF se voit affecté par la variation de M.
Une approximation empirique de la valeur du facteur de forme SF du filtre en
fonction du nombre M de fonctions de Hermite est obtenue par la relation
suivante:
g1 ~(M + 28)
En outre on peut montrer que, pour un nombre donné M de
fonctions de Hermite constituant le développement, et pour une fenêtre
d'échantillonnage de largeur T fixée, la variation du pas d'échantillonnage At
entraîne une variation proportionnelle de la largeur de bande B du filtre.
Ce résultat peut être observé sur la figure 4 qui représente, en
30 échelle logarithmique, les fonctions de transfert des filtres numériques obtenus à
partir de dix fonctions de Hermite, avec une fenêtre d'échantillonnage de largeur
10to, to étant un intervalle de temps prédéterminé, et pour différentes valeurs du
pas d'échantillonnage ~t, à savoir to/32 (courbe (I)), to/16 (courbe (Il)), to/8(courbe (Ill)) et to/4 (courbe (IV)). Pour ne pas surcharger la figure, seules les
35 parties supérieures des lobes secondaires pour les courbes (Il), (Ill) et (IV) sont
visibles. En comparant les quatre courbes, on constate que seule la largeur de
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bande B varie dans les mêmes proportions que le pas ~t, les autres paramètres
opérationnels, à savoir l'atténuation hors bande A et le facteur de forme SF,
restant sensiblement constants.
Enfin, le dernier paramètre opérationnel que constitue l'affénuation
hors-bande A peut être fixé par le seul choix de la durée T de la fenêtre
d'échantillonnage, comme le montre la figure 5. Sur cette figure, on a représenté,
en échelle logarithmique, la fonction de transfert des filtres numériques obtenus
à partir de dix fonctions de Hermite, en échantillonnent avec un pas
d'échantillonnage ~t constant, pour différentes valeurs de durée de la fenêtre
d'échantillonnage, correspondant respectivement à la prise en compte de 50
échantillons (courbe (I)), 70 échantillons (courbe (Il)), et 50 échantillons (courbe
(111)). Pour ne pas surcharger la figure, seules les parties supérieures des lobes
secondaires pour les courbes (I) et (Il) sont visibles.
En comparant les trois courbes obtenues, on constate que seule la
valeur du niveau d'atténuation hors-bande A est affectée par les variations de
durée de la fenêtre d'échantillonnage.
En conséquence, toute synthèse d'un filtre passe~bas caractérisé
opérationnellement par une largeur de bande B, un niveau d'atténuation hors
bande A et un facteur de forme SF donnés peut être réalisée conformément à
I'invention en effectuant les phases successives suivantes:
-une première phase au cours de laquelle on calcule un
développement de la réponse impulsionnelle du filtre analogique associé au filtre
numérigue à synthétiser sous la forme d'une somme pondérée de M fonctions de
Hermite, I'entier M étant fixé par ledit facteur de forme SF;
2s - une seconde phase d'extraction des coefficients du filtre
numérique par échantillonnage de la réponse impulsionnelle obtenue à l'issue de
la phase précédente sur une fenêtre d'échantillonnage de durée T fixée par leditniveau d'atténuation hors bande A, et avec un pas d'échantillonnage ~t fixé selon
ladite largeur de bande B.
Bien entendu toute les opérations précédentes sont mises en
oeuvre dans un calculateur numérique programmé pour réaliser les différents
calculs.
L'intérêt procuré par le développement selon les fonctions de
Hermite réside dans la simplicité de la relation entre la fonction de transfert du
filtre et sa réponse impulsionnelle permettant de calculer directement les
coefficients du filtre, c'est-à-dire la complexité du filtre, à partir de la spécification
des performances du filtre.
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Dans tout ce qui précède, an s'est limité au cas de la synthèse d'un
filtre passe-bas pour des signaux à valeurs réelles. On peut bien entendu
étendre l'application du procédé selon l'invention au cas des signaux complexes.En effet, il suffit d'appliquer le filtre passe-bas réel sur chacune des
5 composantes en phase et en quadrature formant tout signal complexe.
Par ailleurs, on peut également obtenir tout type de filtre passe-
bande à partir de la synthèse d'un filtre passe-bas telle que précédemment
décrite: une première méthode consiste à réaliser une translation en fréquence
de la fonction de transfert du filtre passe-bas synthétisé. Pour obtenir un flltre
10 passe-bande centré sur une fréquence f0 prédéterminée, il suffit de multiplier le
développement de la réponse impulsionnelle g(t) par un coefficient égal à e ~i
Une seconde méthode consiste à effectuer une translation du signal à filtrer a la
fréquence 0 avant de lui appliquer le filtrage passe-bas. Cette seconde méthode
est préférable car elle met en oeuvre un nombre minimal de calculs par rapport à15 la première méthode.
L'intérêt de la présente invention réside dans le fait qu'il est très
facile de réaliser un dispositif de filtrage dont la largeur de bande et/ou la
fréquence centrale peuvent être modifiées facilement et rapidement selon
l'opération de filtrage qu'il faut réaliser. En effet, il suffit de réaliser une fois pour
20 toute la synthèse d'un filtre passe-bas selon le procédé précédemment exposé,en fixant au préalable une certaine raideur SF, une certaine atténuation hors-
bande A et une certaine largeur de bande B qui constituera, comme nous le
verrons par la suite, la largeur de bande minimale du dispositif de filtrage.
L'ensemble des coefficients du filtre numérique obtenu sont alors stockés dans
25 une mémoire du dispositif de filtrage.
Lors d'une opération de flltrage des échantillons d'un signal
d'entrée quelconque, on peut choisir de multiplier chacun des coefficients du
flltre mémorisés avec un échantillon du signal d'entrée, et d'effectuer la
sommation de toutes les multiplications réalisées pour obtenir un échantillon de30 signal flltré. On aura réalisé ùn filtrage présentant les performances définies au
départ, notamment une largeur de bande B.
Si l'on désire à présent réaliser un filtrage de largeur de bande
différente de la largeur de bande B, il n'est pas nécessaire, grâce au procédb de
synthèse selon l'invention, de recommencer toutes les étapes de la synthèse du
35 filtre. En effet, on peut, à partir du filtre initial de largeur de bande B, réaliser
rapidement un filtrage de largeur de bande kB, k étant un facteur entier, en
n'utilisant dans l'opération de flltrage, qu'un nombre réduit du facteur k des
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coefficients mémorisés. Plus précisément, si N représente le nombre de
coefficients mémorisés après synthèse d'un filtre de largeur de bande B, on
obtiendra un filtrage de largeur de bande kB en utilisant seulement un nombre
N/k, c'est-~-dire un nombre réduit du factèur k, d'échantillons parmi les
S échantillons mémorisés, pour les multiplications avec des échantillons du signal
d'entrée mises en oeuvre dans l'opération de filtrage. En effet, le prélèvement
d'un échantillon tous les k échantillons stockés revient à modifler le pas temporel
d'échantillonnage ce qui entraîne, comme nous l'avons expliqué en référence a
la flgure 4, une modification proportionnelle de la largeur de bande, et ce, sans
10 incidence sur le facteur de forme et l'atténuation hors-bande du flltre.
La figure 6 représente, sous forme de synoptique simplifié, les
différentes opérations réalisées lors d'une opération de filtrage au moyen d'un
filtre selon une mise en oeuvre possible conforme à l'invention. Les échantillons
Se(nT) d'un signal d'entrée à filtrer sont stockés dans un registre à décalage 3.
IS Par ailleurs, les N coefficients aj extraits lors de la synthèse préalable du filtre
conformément au procédé selon l'invention sont mémorisés dans des moyens de
stockage 4, par exemple une mémoire du type ROM. Pour une opération de
filtrage de bande passante B, chacun des coefficients aj mémorisés est multipliépar l'intermédiaire de multiplicateurs 5, par un échantillon du signal d'entrée
20 stocké dans le registre a décalage 3. les sorties des multiplicateurs 5 sont alors
additionnées dans un sommateur 6 pour délivrer un échantillon dé signal Ss filtré.
On calcule la valeur de l'échantillon de préférence au bout d'un temps égal à
l'inverse de la largeur de bande du filtre. Toutes les opérations précédentes
s'effectuent sous le contrôle d'un module de commande 7, typiquement un
25 microprocesseur. Avantageusement, ce dernier sert également de moyen pour
modifler la largeur de bande du filtre et sélectionner une largeur de bande
multiple de la largeur de bande minimale B. Si k est le coefficient multiplicateur,
le module de commande 7 ne choisit, dans la mémoire 4, qu'un coefficient aj
tous les k coefflcients pour réaliser les multiplications avec un nombre
30 correspondant d'echantillons du signal d'entrée.
