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MÉTHODE POUR FORMER AUTOMATIQUEMENT UN MOD~LE SIMULANT
LA STRUCTURE STRATIGRAPHIQUE D'UNE ZONE SOUTERRAINE
La présente invention concerne une méthode optimisée de modélisation de la
structure stratigraphique d' une zone souterraine permettant l' ajustement
rapide de
paramètres du modèle avec des données observées ou mesurées.
La méthode selon l'invention trouve des applications dans la modélisation de
bassins
sédimentaires en vue notamment d'aider les ingénieurs de réservoir à mieux
localiser les
gisements souterrains d'hydrocarbures.
Les bassins sédimentaires sont évolutifs au cours du temps, ils sont de
géométrie
variable sous (effet de la compaction (le volume poreux diminue), de la
subsidence
(déformation du fond du bassin) et de (érosion (enlèvement d'une partie des
sédiments
supérieurs du bassin). Dans un milieu marin, des sédiments viennent se poser
sur le socle
pour former un bassin sédimentaire. On cherche à estimer la hauteur du
sédiment et les
teneurs en lithologies sous (influence de la compaction, de la subsidence et
de (érosion.
Pour déiïnir tous les paramètres intervenant dans la définition et la
formation d'un
tel bassin sédimentaire, on va utiliser les notation suivantes
SZ : Domaine d'étude qui représente le bassin sédimentaire, SZ e IRZ .
N : Nombre de lithologies, N >_ 1.
Eé~ : Efficacité de Peau, (unité [~]: dépendante de la lithologie 1.
q, , l =1, . . . , N : Flux sédimentaire de la lithologie l sur la frontière
du domaine, il dépend dû
temps) (unité : [ LZT-1 ] ) L est la longueur et T est le temps).
v~ , l =1,... , N : Teneur en lithologie l, elle dépend du temps, (unité :
[~]).
QL,I =1,..., N : Flux sédimentaire de la lithologie l, (unité : [ LZT-1 ]).
H(x,y,t) : Hauteur du sédiment, (unité : [L].
Va : Vitesse de subsidence, (unité : [ LT-1 ].
~, : Porosité, (unité : [~]).
K, (h) : Coefficient de diffusion) appelé aussi diffusivité, il dépend des
variables d'espace et
3 o de temps, (unité : [ L2T-1 ] ). .
L'ensemble des équations décrivant le processus de sédimentation est le
suivant
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la
- Équation en h : donnée par une loi de conservation de la masse.
- Équation en E~~, ; elle correspond à l'efficacité de Peau (transport des
sédiments par
feau).
- Équation liée au coefficient de diffusion K; (h) , elle fait intervenir la
bathymétrie et
permet de définir le coefficient de diffi.~sion relativement à trois zones
différentes
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continentale, marnage (zone de marée) et marine. La valeur du coefficient de
diffusion
sera donc définie à partir des trois valeurs K1 ( K~e"e ) K2 ( Kb~hy > et K3 (
Kme, ) (Flg. 1)
dont le raccord entre la zone continentale et marine est linéaire.
- Équation liant le flux Q; ~ la hauteur h de la lithologie i : Q; _ -K; v;
Eé~, Oh , elle est
donnée par une loi d'écoulement similaire à la loi Darcy.
Pour définir le modèle direct d'un bassin, ï1 est connu de coupler, pour
chaque
lithologie, des équations de transport avec celles de conservation de la masse
dans le but de
définir en chaque point du bassin le taux d'érosion ou de sédimentation et la
teneur en
chaque lithologie.
1o On représente d'abord le bassin sédimentaire par 52 domaine ouvert de IRZ
de
frontière T = rl U r2 et l'on doit trouver h, Q; et v; , i =1, . . . , N tels
que
(v; ~; h) + divQ; = g; sur S2 x ~0, T
Q; =-K;v;E~~,Oh
N
~i_1v~ - 1
h = ho sur rl x ~0, T
v;Eé~,K;Oh.n = f; sur r2 x~O,T~
h(x, y,0) = g(x, y) sur 52, t = 0
Les fonctions g; peuvent dépendre des apports sédimentaires q; (production des
carbonates, ete) ou de (accommodation (vitesse de subsidence Vr , eustatisme,
compaction),
etc. Dans le cas où les Vr sont connues et où les fonctions K; sont bornées
sur 52, telles que
pour tout i, il existe ec; > 0 tel que K; ? a; , h sera solution de (équation
parabolique
suivante
v; ~; hJ + divC ~ f; (h)~h = ~ g;
r r c=i ( 1 )
où (fr (h) _ -Kr v~ Ee~. ~ .
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On connaît dans le domaine des géosciences, des méthodes d'inversion
permettant
de contraindre un modèle de simulation initial d'une zone souterraine telle
qu'un bassin
sédimentaire, résultant par exemple d'une simulation géostatistique, par des
données
observées ou mesurées dans la zone, suivant un processus itératif automatique.
Plusieurs techniques existent pour' résoudre les problèmes d'inversion. Une
technique connue de type essai-erreur consiste à appliquer un algorithme
d'optimisation de
type génétique calqué sur le processus de l'évolution par la sélection
naturelle. Un exemple
de cette technique appliquée à la modélisation stratigraphique de bassins
sédûnentaires, est
décrite par exemple par'
- Bornhotdt S., Optimization using Genetic Algoritluns ; Proceedings Numerical
Experiments in Stratigraphy ((NES) 1996 .
La anise en oeuvre de cette technique est facile et ne nécessite pas de calcul
de
gradients. Cependant, dans certains tests numériques, du fait du choix
aléatoire de la
population initiale, on a besoin de plusieurs générations et d'une grande
population pour
diminuer la fonction critère, ce terme désignant l' eiz eur des moindres
carrés entre les
observations (valeurs de référence) et les prédictions (valeurs calculées).
Une autre méthode connue consiste à utiliser un algorithme itératif de
descente pour
l'ajustement des paramètres, en supposant que la fonction-critère respecte
certaines formes.
Une technique de ce type, appliquée à la modélisation stratigraphique de
bassins
2o sédimentaires, est décrite par exemple par
- Lessenger M. et al. : Forward and Inverse Simulation Models of Stratal
Architecture and
Facies Distributions in Marine Sllelf to Coastal Plain Environments. Thesis,
Colorado
School, November 1993 ; ou par
- Lessenger M. et al. : Estimating Accuracy and Uncertainty of Stratigraphie
Predictions
from Inverse Numerical Models ; in Proceedings Numerical Expeiiments .in
Stratigraphy
(NES), 1996 ;
Par le 'brevet FR-A-2 744 224 du demandeur, on connaît également Lme méthode
par
essais et erreur de type manuelle qui peut être utilisée pour répondre à un
problème
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d' ajustement des paramètres géologiques d'un processus stratigraphique, lor
squ'on a des
connaissances géologiques fortes dans l'environnement des dépôts
sédimentaires.
La méthode selon l'invention permet une modélisation automatique de la
structure
stratigraphique d'une zone souterraine avec un ajustement rapide de paramètres
du modèle
avec des données observées ou mesurées. Elle comporte
- la détermination par mesure ou observation d'une série de grandeurs
représentatives de
la structure stratigraphique de la zone en différents points (telles que des
hauteurs de
sédiments ou des données provenant d'interprétations d'essais de puits ou des
mesures
sismiques notamment) ;
l0 - l'implémentation d'un modèle initial direct dépendant d'un ensemble de
paramètres
représentatifs du processus de formation géologique de la zone ;
- la détermination au moyen du modèle initial, des valeurs prises par les
grandeurs aux
différents points de mesure ou d'observation ;
- le calcul au moyen du modèle direct, des gradients de chaque grandeur par
rapport aux
paramètres à ajuster ; et
- l'optimisation du modèle en minimisant par itérations successives la
fonction critère,
jusqu'à réduction suffisante des écarts, par le calcul de la sensibilité du
modèle direct aux
paramètres à ajuster, de manièr e à produire une représentation
stz~atigraphique de la zone
souterraine.
2o La méthode comporte par exemple l'utilisation d'un modèle de type ditfusif.
Dans le cas où le modèle direct sélectionné est dérivable par rapport aux
paramètres,
la méthode comporte par exemple l'utilisation d'un gradient de type
analytique.
La méthode peut aussi comporter l'utilisation de gradients pal différences
finies.
La méthode peut comporter également l'utilisation par exemple d'un algorithme
quasi-newtonien pour minimiser la fonction-critère.
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La méthode selon l' invention pernzet d' obtenir une convergence r apide du
modèle
stratigraphique choisi initialement avec les mesures et observations des
hauteurs
sédimentaires mesurées, ce qui conduit à minimiser les coûts des calculs d'
ajustement du
modèle.
5 On utilise un dispositif permettant l'implémentation de la méthode qui
comporte
- des moyens pour déterminer par mesure ou observation d'une série de
grandeurs
représentatives de la structure stratigraplûque de la zone en différents
points; et
- un ensemble de traitement informatique programmé polir réaliser une
implémentation
d'un modèle initial direct dépendant d'un ensemble de paramètres
représentatifs d'uli
1o processus de formation géologique de la zone, cet ensemble de traitement
incluant
- des moyens pour déterminer au moyen du modèle initial, des valeurs prises
par les
grandeurs aux différents points de mesure ou d'observation ;
- des moyens pour calculer à partir du modèle direct, des gradients de chaque
grandeur par
rapport aux paramètres à ajuster ;
- des moyens d'optimisation du modèle en minimisant par itérations successives
une
fonction critère dépendant des dits paramètres) jusqu' à réduction suffisante
des écarts,
par le calcul de la sensibilité du modèle direct aux paramètres à ajuster ; et
- des moyens pour produire une représentation stratigraphique de la zone
souterraine.
D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention,
appwaîtront
2o à la lecture de la description ci-après d'un exemple non limitatif de
réalisation, en se
référant aux dessins annexés où
- la Fig.l montre un exemple de vwiation du coefficient de diffusion dans une
bordure
littorale;
- la Fig.2 monte e un organigramme représentatif du pr ocessus d' optimisation
d' un
modèle str atigraphique ;
- la Fig.3 montre, en fonction de h, la variation d'un terme source
représentant par
exemple les apports sédimentaires ;
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- la Fig.4 représente un algorithme de calcul du gradient ;
- la Fig.S représente un algoritlmie de calcul de paramètres optimaux ;
- la Fig.6 représente un algomthme préféré utilisé pour minimiser une fonction-
critère ;
- la Fig.7 représente un organigramme du processus d' inversion utilisé pour
optimiser le
modèle stratigraphique ;
- les Fig.BA, 8B) représentent deux exemples de variation dans l'espace de la
hauteur de
sédiments respectivement à deux instants successifs ;
- la Fig.BC représente la variation de la fonction-critère J par rapport au
coefficient de
diffusion K ;
- les Fig.9A, 9B représentent des exemples de variations dans l'espace de la
hauteur de
sédiments h, la première à un instant initial, la deuxième à trois instants
successifs to, tl
et t, ;
- la Fig.9C représente un exemple de .la variation en fonction des
coetficients de
diffusivité K 1 (K~~ J et K2 (Kma) de la fonction critère J ;
t5 - la Fig.lO est un tableau comparatif des valeurs optimales atteintes par
les para:~nètres
q f"°' , Ki "°~ , Ki "°~ par référence à un premier jeu
de valeurs des paramètres de départ,
avec KZ =.1 ;
- la Fig.ll est un tableau comparatif des valeurs optimales atteintes par les
paramètres
q f"°' , Ki "°' , KZ "°' par référence à un deuxième jeu
de valeurs des par amètres de départ,
2o avec K3 ( Kb~hy ) =1 ; et
- la Fig.l2 est un tableau comparatif des valeurs optimales atteintes par les
paramètres
qf"°' , Ki "°' , KZ "°' par référence à un troisième jeu
de valeurs des paramètres de départ,
avec K~ ( Kb~,,y ) =1.
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Description de la méthode
Dans ses gr andes lignes qui sont schématisées à la Fig.2, et développées dans
la suite
de la description, la méthode comporte la succession d' étapes suivantes
- Choisir un modèle direct (de type diffusif par exemple) pour simuler l'objet
géologique
réel ;
- Choisir un jeu initial de paramètres qui vont permettre avec le modèle
direct, d' aboutir
aux grandeur s (telles que les hauteurs sédimentaires par exemple) que l' on
cherche à
faire côincider avec les grandeurs réelles ;
- Calculer eu utilisant le modèle direct, les grandeurs (hauteurs
sédimentaires par exemple)
lo qui en résultent aux points de mesure et d'observation (tels que les puits
forés au travers
du milieu) et les comparer aux observations réelles aux mêmes points ;
- Calculer au moyen du modèle direct, des gradients de chaque grandeur par
rapport aux
paramètres à ajuster, que ce soit des gradients de type analytique si le
modèle direct est
dérivable, ou des gradients de type par différences finies en faisant varier
les paramètres,.
Si les écarts entre le modèle et les observations sont grands, optimiser le
modèle
ainsi créé en minimisant de manière itérative la fonction-critère, de
préférence par un
algorithme quasi-newtonien, de préfërence via une méthode connue d'
optimisation dite
BFGS.
On va définir ci-après les termes dans lesquels se po sent le problème d'
optimisation
en utilisant les notations suivantes
h°b , pour désigner la hauteur observée.
P = ~P = (Pr)r>_o E IRm~ ~ Pop désigner (ensemble des paramètres P à
identifier ; et
m) pour désigner le nombre de paramètres à ajuster.
L'ensemble P~, des paramètres admissibles ( P°d e P) est défini par
(ensemble des
paramètres qui sont sous contraintes. Si p est le paramètre à identifier, on
note h(.;p) la
solution du problème direct. J(p) qui représente (écart entre les quantités
calculées h(.;p) et
les quantités observées, h°bs ; est appelée fonction objectif ou
critère.
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s
Il s'agit dans ce contexte de trouver p E P~ tel que : J(p) <_ J(p) b'p E Prou
sous une forme équivalente, de trouver p E P°d tel que : J( p) = MinPE
p~ J( p) . Dans le cas
de la méthode des moindres carrés, J(p) s'écrit sous la forme suivante
J( p) = II h(. ; p) - h°b II i où ~~.~~Z désigne la norme dans LZ (SZ)
qui représente
l' ensemble des fonctions de cavés sommables. Pour une fonction f donnée dans
LZ(~')'I1f112 (fi2lfl2)1/2)
Le paramètre p doit vérifier ~J(p) = 0. Le problème inverse est un problème de
minimiçation par rapport aux paramètres. Suivant la définition de (ensemble
des paramètres
admissibles (égal ou inclus dans (espace des paramètres inconnus), on a à
traiter un
lo problème de minimisation sans contraintes ou avec contraintes.
Dans le cas où K(h) = cte, dh et où K est le seul paramètre qu'on cherche à
identifier, il faut, pour estimer (optimum K , calculer Oh(.; K) , gradient de
h par rapport à
K, du fait que ~J = 2~h(. ; K). (h(. ; K) - h °b ) , et à trouver à f
aide des techniques
d'optimisation, le pauamètre K qui vérifie ~J(K) = 0.
t5 Dans le cas où la fonction K est donnée en fonction de K«"~, Km~r et Kb~Hy
de la
Fig. l, il faut calculer les gradients de h par rapport à Kre,.,~ , Kmer et
..Kb~,,Y et définir les
valeurs optimales K,e~ , K,"er et K6~,,y par un procédé d'optimisation.
Avec la méthode selon l'invention, on actualise les paramètres par le calcul
du
gradient, et pour cela, on peut utiliser plusieurs techniques de calcul
différentes.
2o Méthode. de. gradient pour le simulateur stratiQraphiaue
Cas d'une couche homogène
Le paramètre K(h) est ici indépendant de la hauteur du bassin (on est soit en
dessous
de Peau, soit au-dessus) et l'on considère que la porosité ~o est indépendante
du temps. Si
K
l'on pose : q = g' , K = 1 , (équation à résoudre est du type
y y
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- div(KEe~,~h) = q(h) (5)
qui se réduit à ~ - ~ CK(h) ~~ = q (6)
dans le cas d'une couche monodimensionnelle et l'on utilise pour sa résolution
un code de
résolution numérique d'un type connu, que l'on désigne par 'code-diffusion".
Le terme
source q peut correspondre à la production des carbonates ou des sédiments
siliciclastiques ; une représentation graphique possible est dans la Fig.3.
Méthode de dérivation du modèle direct
D'après ce qui précède, pour résoudre le problème d'inversion lié à cette
équation, il
faut d'abord estimer ~hp qui représente le gradient de h par rapport à p où p
est le
lo paramètre à identifier.
Restriction au cas unidimensionnel
L' équation satisfaite par le gradient Oh p est, on le monte e, du même type
que celle
du modèle direct.
Dans le cas où q(h) = fonction (h, si , s2 ), sl , sz E IR (c~ Fig.3), il faut
estimer
ah ah
as et as et chercher ensuite le minimum de J(K, sl , sz ) .
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L' algorithme résumant ce qui précède est schématisé sur la Fig. 4:
Formulation générale de la méthode de dérivation cour le calcul du sradient
Soit U (ensemble des inconnues et d l'ensemble des paramètres d'un modèle
direct.
On note U "+' la solution approchée au temps t"+~ . Le problème (P) peut
s'exprimer, après
discrétisation, sous la forme suivante
f(Un+yUn~d)=~ (8)
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que l'on résoud par une méthode classique de type Newton. La méthode du
gradient pour
(inversion des paramètres consiste à dériver (équation (8) par rapport au
paramètre d ; dans
c7U "+~
ce cas Y"+' - ôd est solution du système linéaire suivant
"+~ _ af _ ~ "
âU"+1 ~y - Câd aU" .y
5 Une application de cette méthode est décrite par exemple par
Rahon, D. et al : « Gradient Met:hod constrained Geological Bodies for Histoiy
Matching. » SPE 36568: Society of Petroleum Engineers, 1996.
Méthodes numériaues de calcul du !=radient
Une première méthode consiste à dériver les équations discrétisées du modèle
direct,
1o et par exemple l'équation (5) dans le cas d'une litho:(ogie unique.
Une deuxième possibilité consiste à utiliser une méthode de différences finies
pour
h -h
approcher le gradient D p; h( p) par s, ou h = h(. ; p + 0;p ) . La
perturbation ~,p est
obtenue en perturbant (élément terne du vecteur p
~rp = (Po~Pi,...,P; +8;,...)
On Fait une première simulation avec le paramètre p pour obtenir h, puis on
fait une
nouvelle simulation avec le paramètre ( p o , pl , . .. , p; + 8; , . .. )
pour évaluer h(. ; p + 0;p ) .
Méthodes d'optimisation
On cornait des méthodes pour (optimisation d'une fonction itérative qui se
basent
sm la recherche d'un point stationnaire c'est-à-dire le point qui annule~e
gradient de la
fonction et panW elle particulièrement la méthode dite du gradient conjugué
poua~ les
fonctions quadratiques et la méthode BFGS pour les fonctions quelconques.
On choisit de préférence, la méthode dite BFGS qui est très faiblement
sensible aux
imprécisions dans la procédure de recherche unidimensiomlelle. Cela permet
d'utiliser des
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méthodes d'optimisation unidimensionnelle économiques qui ne nécessitent duun
très petit
nombre d'évaluations de :la .fonction à chaque itération.
Pour la méthode BFGS, les approximations Hk du hessien sont définies par Ho =
1
(I est la matrice identité) et par la suite récurrente suivante
Yk k 8 ~ 81 sk ~ Hk + HAN sk
Hk+i = Hk + 1 + H ~ i k - k 1 (20)
Sk Yk ~ sk ~ Y k ak ~ Yk
où 8k = pk+~ - pk et yk =~J(pk+~)-pJ(pk)
x1 désigne le transposé du vecteur x (matrice-ligne) et xl. y désigne le
produit scalaire des
vecteurs x et y.
L' algorithme BFGS de nvnimisation du critc're est schématisé à la Fig.6.
1o Auulication de l'algorithme d'inversion
On va utiliser (algorithme BFGS décrit ci-dessus pour définir un modèle
inverse
pour (identification des paramètres intervenant le modèle direct suivant dont
la formulation
mathématique, s'écrit, pour i = 1,...,N, sous la forme suivante
(v; ~; h) + div(-K; v; Eé~~h) = g; sur S2. x ~O, T
w
~'-i vt = 1
h = ho sur Tl x ~O,T~
v;E«,K;~h.n = f, sur r2 x~O,T~
h( x, y,0) = g(x, y) sur SZ
où S2 représente le bassin sédimentaire, N le nombre de lithologies et K; les
diffusivités qui
peuvent être constantes ou dépendantes de h comme dans la figure 1 de la
section 1.
Dans ce cas, (ensemble P des paramètres qn on voudrait ajuster contient les
coefficients de diffusion K~,; Kj,; et KZ.r (respectivement à terre, en
bathymétrie et en mer)
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pour chaque lithologie i, les termes sources g; et les flux f au tord rz. Nous
envisageons
deux cas
1) Si di, g; est constante indépendamment de h alors
S KJ,J, K3,1, K2.1;...;KJ.N, K3,N, K?,N.
gl,...,gN;
fl,..., fN
}.
2) Si les fonctions g; = fonction(h, sJ,;,sz,;,) sont données par la loi de Ia
Fig. 3, c'est-
io à-dire si les g; sont définies via les coefficients sl,;, s2,r, alors
P=i
Kl.l, K3,1. K2,1;~~~;KJ.Nr K3.N, K2.N;
Sl.l, ~.., SI.N; 52.1, ~.., Sz.N;
f 1,...,~'N
15 }.
Organigramme du modèle inverse
Ayant fixé les par amètres à identifier, la procédure à suivre est résumée
dans
(organigramme de la Fig.7.
Tests numériaues
2o On traite dans ce qui suit de (inversion des paramètres du modèle diffusif
dans le cas
monolithologique (N = 1) sous des.conditions aux limites de type Nemnann et
Dirichlet au
moyen de (équation aux dérivées partielles
(E) ~ - div(KEe~~h) = q
Inversion dans le cas linéaire
25 On a réalisé à titre de test, (inversion du coefficient de diffusion
K(h)=cte, b'h ~ en
cherchant à caler le modèle munérique sur un autre modèle numérique (jouant le
rôle du
modèle réel) tel que
h obs (, ~ , ) = h(. ~ , ~ Ko~~m~m ), Ko~;mum = 12
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où h(.,.; K°Prrmun~) est la solution de l'éduation (E~.
On m;n;m;ae enfin le critère J(IL')) on choisit K°=4 con~ne point de
départ de la
méthode BFGS. On vérifie que le coefficient optimal trouvé coïncide exactement
avec
K°Y~,mu,". Ceci est illustré sur les Fig.9A à 9C où la troisième
représentation correspond au
critère J eu fonction de K. La convergence vers le minimum est ici obtenue au
bout de trois
itérations seulement. On observe que l' on obtient le même résultat dans le
cas où le critère
est évalué sur tous les points du domaine ou sm quelques uns seulement (c'est
le cas si les
observations h°b' sont connues en quelques puits seulement).
Inversion dans le cas non linéaire
lo Dans cette partie, on s'intéresse à (étude numérique de (équation (E~ dans
le cas où
K(h) est défini en fonction des trois paramètres KI, K3 et KZ (cf. Fig.l).On
fixe K3 et l'on
inverse les paramètres q, K, et K2.. Les Fig.lOB, 11B correspondent à la
représentation de
quelques simulations directes et du critère J(Kl, KZ) où Kj = .l et q = S.
Le coefficient de diffusion initial K(h) et la condition initiale sont
représentés
respectivement sur les Fig. l lA, 10A.
Les tables des Fig. l l et 12 correspondent à (inversion du paramètre p = (q,
KI, Kz)
avec des observations calculées à f aide du paramètre p°Pt;mum = ( 10,
5, 2.5).
La table de la fig.13 correspond à (inversion du paramètre p = (q, KI, KZ)
avec des
observations calculées à (aide du paramètre p°Pt;m",~ _ (10, 5, 3).
2o Le critère J(K,, KZ) qui correspond à ce cas, ainsi que la condition
initiale h(.,.,0)
sont représentés dans les Fig.l4A-1.4C. On constate d'abord que le calcul du
minimum de J
dépend des valeurs initiales q ° , K° et Ki .
Comme on vérifie sur les tables des Fig.ll-13, la convergence vers foptirnum
est
assurée et ceci bien que les différents points de dëpart sont choisis très
loin de (optimum
p°,»rn~u,~,.
On a décrit des exemples de mise en oeuvre de la méthode où la grandeur
considérée .
était une hauteur (épaisseur) de dépôts sédimentaires. On ne sortirait pas du
cadre de
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l'invention toutefois en considérant d'autres grandeurs telles que des données
provenant
d'interprétations des essais de puits (valeurs de pression) ou des données
géologiques
(position et nature de lithologies) obtenues par interprétation de mesures
sismiques par
exemple.
